Re: [積分] ㄧ題積分

[ahongyeh (小葉子)]

※ 引述《LuisSantos (^______^)》之銘言：
: 標題: Re: [積分] ㄧ題積分
: 時間: Fri Jun  1 18:43:46 2007
:
: ※ 引述《cc1987 (楓~)》之銘言：
: :       1
: : S----------dx
: : (4+e^x)^1/2
: : 不知道怎麼解這題
: : 幫我解一下
: : 謝謝
:
:            1
:    ∫------------- dx
:       √(4 + e^x)
:
:              e^x
: =  ∫--------------------- dx
:       (e^x)(√(4 + e^x))
:
:          2
: =  ∫--------- dy
:       y^2 - 4
:

到這裡之前都是對的~~

:                                      e^x
: (令 y = √(4 + e^x) , 則 dy = ------------------ dx )
:                                (2)(√(4 + e^x))
:
:
: ( y^2 = 4 + e^x  =>  e^x = y^2 - 4)
:
:        1      1         1
: =  ∫(---)(------- - -------) dy
:        2    y - 2     y + 2
:

基本上由於不連續~~
所以這邊不能拆成兩個積分來做~~

:     1
: = (---)(ln|y - 2| - ln|y + 2|) + c
:     2
:
:     1     | y - 2 |
: = (---)(ln|-------|) + c
:     2     | y + 2 |
:
:     1     | √(4 + e^x)  -  2 |
: = (---)(ln|-------------------|) + c
:     2     | √(4 + e^x)  +  2 |
:
:     1       √(4 + e^x)  -  2
: = (---)(ln(-------------------)) + c
:     2       √(4 + e^x)  +  2
:
:

一開始我也覺得這位朋友的作法是對的~~
不過....就是不知道哪邊怪怪的~~
後來我將他微回去~~答案就錯了~~

http://library.wolfram.com/webMathematica/Education/WalkD.jsp

請輸入  (1/2)ln[(sqrt[4+e^x]-2)/(sqrt[4+e^x]+2)]

                           1
有沒有發現微回去的結果是 -----     (常數???)
                          √5

所以那邊不能拆成兩個積分來做~~

正確的作法是用三角代換~~

正確的答案 就是 HUJIKOLP 算的答案~~

我個人提供兩個答案一樣卻不同寫法的答案~~


 i) x/2 - ln(√(4+e^x)+2) + C

ii) ln(√(4+e^x)-2) - x/2 + C


以上是我個人的一點淺見~~
歡迎大家一起討論~~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 163.32.125.13
推 HUJIKOLP:您不嫌棄而已@0@
※ 編輯: ahongyeh        來自: 163.32.125.13        (06/01 20:32)
推 ahongyeh:我說的不連續~~請看下面那張圖~~
→ ahongyeh:http://tinyurl.com/3dy629
推 ahongyeh:另外~~那張圖的方程式是 y=2/(x^2-4)
推 topractise:可是e^x = y^2 - 4　其中x不會等於正負
→ topractise:2
→ topractise:y才對　y不會等於正負2
推 OnlyGood:積分哪管你連續不連續