※ 引述《youyouyou (這就是人生阿)》之銘言：
: ※ 引述《ahongyeh (小葉子)》之銘言：
: : Which of the following statements is True?
: : ∞ 1
: : (b) ∫ --- dx is convergent.
: : 0 x^2
: : 2
: : ∞ 2 -x
: : (d) ∫ x e dx = 0 (式一)
: : -∞
: let
: u=x
: 2
: -x
: x e dv
所以是...
2 2
∞ 2 -x -1 ∞ -x
∫ x e dx = --- ∫ x‧(-2x)‧e dx
-∞ 2 -∞
┌ 2 2 ┐
-1 │ -x │∞ ∞ -x │
= --- │xe │ － ∫ e dx │
2 │ │-∞ -∞ │
└ ┘
-1 √π
= ---‧(-√π) = -----
2 2
後面那個積分式~~
我用極座標轉換~~
就把兩個∞，變成只有一個∞~~
這樣做果然踏實多了~~
我原本會想用 Gamma function 應該是直覺所致~~
因為我這類型的題目習慣就用 Gamma function 或是 Beta function~~
可是我剛剛又用 Gamma function 做了一下~~
好像可以說 @.@
2
∞ 2 -x
(d) ∫ x e dx
-∞
2
l i m b 2 -x
= b→∞ ∫ x e dx
a→-∞ a
2 2
b 2 -x a 2 -x
= lim ∫ x e dx ─ lim ∫ x e dx
b→∞ 0 a→-∞ 0
令 c = -a , dc = -da
2 2
b 2 -x c 2 -x
= lim ∫ x e dx ＋ lim ∫ x e dx
b→∞ 0 c→∞ 0
Γ(3/2) Γ(3/2)
= --------- ＋ ---------
2 2
= Γ(3/2)
1 √π
= ---‧√π = -------
2 2
: 2 2
: -x a ∞ -x
: 會產出 = -xe | (這一項必0) + ∫ 0.5 e dx
: -b -∞
: 2
: 1 ∞ -x/2
: 後面那東西你學過常態分布就知道 ---- ∫ e dx =1 ( 沒有記得很熟, 但是
: 2pi -∞ 這個積分是個常數)
: a,b 趨近無限大
: 所以後面那個你經過適當的變數代換可算出答案
: 所以不會等於0
: 所有原因是你 取 u dv 取錯
: : 剛開始看到這選項~~
: : 心裡就猜他是不是在考∞有沒有一樣~~
: : 於是我化簡了一下~~
: : dt
: : 令 t = x^2, dt = 2xdx, dx = -------
: : 2 √t
: : l i m b^2 -t 1
: : 原式 = b→∞ ∫ t e ------- dt (式二)
: : a→-∞ a^2 2 √t
: : 做到這邊我更肯定他是要考∞有沒有一樣~~
: : 但再繼續做下去....就....
: : l i m b^2 √t -t
: : = b→∞ ∫ ----- e dt (式三)
: : a→-∞ a^2 2
: : 做到這邊~~順手就想要用 Gamma function 來做...
: : ┌ ┐
: : 1 │ b^2 (1/2) -t a^2 (1/2) -t │
: : = ---│ lim ∫ t e dt ─ lim ∫ t e dt │ (式四)
: : 2 │ b→∞ 0 a→-∞ 0 │
: : └ ┘
: : 做到這裡才想到....
: : 如果都代 Gamma function 的話，
: : 那麼這個答案就會是0~~
: : 而我肯定 b 選項一定是對的~~ (意即d選項是錯的)
: : 我在想，是不是 Gamma function 中的∞是一視同仁呢!?
: : 有人可以跟我說哪邊觀念錯誤嗎!?
: : 麻煩強者了....
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