Re: [考古] 95台聯大

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《pobm (待從頭收拾舊河山)》之銘言：
: Show that
:                        1        sin(πx^2)
:                  0 < ∫       --------------- dx < (1/2)ln2
:                        -1/√2        x
: 算了很久
: 還是沒算出來
: 泰勒展開也弄不出個清楚的關係來(π在那實在很礙手礙腳)
: 還試了一些怪方法XD
: 謝謝^^

   1      sin(πx^2)         1/√2    1      sin(πx^2)
 ∫      ------------ dx = ∫      + ∫     ------------ dx
  -1/√2      x             -1/√2    1/√2      x

注意 sin(πx^2)/x 是奇函數, 有界. 故第一部分積分值
為 0. 第二部分取 u=πx^2 的代換
   1     sin(πx^2)         1   π   sin(u)
  ∫    ------------ dx = -----∫   -------- du
   1/√2     x             2π  π/2   u
                             1     π    1
                        ≦ ----- ∫    ----- du
                            2π   π/2   u

                        = (1/2)ln(2)

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◆ From: 163.15.188.87
推 pobm:謝謝^^~~真想不到這麼簡單~~
推 HUJIKOLP:j別複雜化阿~sin<1積1/X就可了証明嘛
→ yhliu:2F 說得是! 我耍笨了!
推 ThatsLife:du = 2πxdx 這個代換有錯!
→ ThatsLife:題目是dx/x
推 JULIKEBEN:正確在3472篇