Re: 台大數假ㄧ題證明

※ 引述《HUJIKOLP (UUOJKLJLKJK)》之銘言：
:   Let f be continuous on a rectangular region (a,b)X(c,d)
: prove that the function F defined by
:   F(X)=Sf(x,y)dy  積c~d  x屬於(a,b)is continuous on(a,b)
有錯請指正囉~~


          d
    F(x)=∫ f(x,y)dy
          c
            d
    F(x+h)=∫ f(x+h,y)dy
            c
                         d                d
lim F(x+h)-F(x) = lim [(∫ f(x+h,y)dy) -(∫ f(x,y)dy)]
h→0              h→0   c                c
       d
=lim  ∫[f(x+h,y)-f(x,y)]dy      fix x, and let f(x+h,y)-f(x,y)=G(y)
 h→0  c
       d
=lim  ∫ G(y)dy
 h→0  c

(let P={c=a1,a2,....an=d} is a partition of [c,d]  Max|P|→0 as n→∞)

             1
=lim   lim  --- ΣG(ai)
 h→0  n→0  n
       1
=lim  --- Σ lim G(ai)
 n→0  n     h→0

   d
= ∫ {lim [f(x+h,y)-f(x,y)]} dy
   c  h→0
     -----------------------
 這項因為f在(a,b)X(c,d)連續故為0

=0

lim  F(x+h) = F(x)
h→0







: ＝≒≠≡≡＜＞≦≧
:         ∴∵∫∮∩∪㏑㏒√→∞∠△°
:         ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩ
:         ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ
:         αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω


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◆ From: 125.226.173.220
※ 編輯: pobm            來自: 125.226.173.220      (06/16 12:22)
推 HUJIKOLP:剛溫阿~
→ yhliu:極限與積分確實可互換嗎?
推 TheOneisNEO:互換原因好像不是那兩個東西無關....
推 pobm:對厚~~那我改一下
※ 編輯: pobm            來自: 125.226.59.121       (06/16 17:33)
推 pobm:這樣有好一點嗎~~還是我還要再說怎麼把lim放
→ pobm:放到Σ裡?
→ yhliu:誰說 limit 可以任意互換?
→ yhliu:Hint: f 在一封閉有界區域連續==>均勻連續.
推 pobm:均勻連續跑出來了= =這不是高微嗎
→ yhliu:由均勻連續結果, 易控制 F(x+h)-F(x).
→ pobm:嗯嗯~~那這題在初微就沒辦法囉
→ pobm:還是我應該先把均勻連續唸起來
→ yhliu:在初微有證 Fubini 定理嗎?
推 pobm:呃~~其實Fubini老師是證過的
→ yhliu:是 "證明" 或 "推導"?(或 "說明"?)
推 pobm:是證明~~用sup
推 pobm:但是兩個積分互換順序他是放在Cor沒證
推 pobm:呃~~我重新唸一次Fubini好了
→ yhliu:我學藝不精...Fubini 定理要完全證明, 離不
→ yhliu:開可積分性的討論. 而可積分性不是高微才談?
→ yhliu:回到本題, h→0 若改成 h_n→0 當 n→∞,
→ yhliu:即是函數序列極限與積分能否互換問題, 這涉
→ yhliu:及均勻收歛, 又是高微才談的概念.
→ yhliu:事實上扯到均勻收斂問題就更麻煩了!
→ yhliu:但本題只需利用均勻連續性就解決了.
→ yhliu:不用這些概念, 純倚賴初微有限的工具, 我還
→ yhliu:沒把握能證明它!
推 pobm:嗯嗯~~可能我們證的Fubini不是完整的吧
→ pobm:總之謝謝y大了~~我明年再來看他^^