Re: [積分] 中興考古兩題

[ahongyeh (小葉子)]

※ 引述《coolbaby119 (小屈)》之銘言：
: 1.Find the distance between the point (Xo,Yo,Zo)
:   and the plane ax+by+cz+d=0
: 我感覺這題好像是國中OR高中的...不過我想不出來該怎麼做= =
: 應該說我笨笨的
: 這要用到什麼微積分的概念?
: Lagrange?

   可以用Lagrange，不過我花了十幾分鐘才作出來~~不是很好作就是了...

                     │aXo + bYo + cZo + d│
   高中數學 d(P,E) = -----------------------
                       √[a^2 + b^2 + c^2]


: 2.Find the volume of the region of space bounded by the surface
:   y^2+z^2=2x  and the plane x+y=1
: 我的作法:
:    1  1-y
:   S  S    ( 2x-y^2)^1/2  dx dy
:    0  0
:    1                   |1-y
: = S  [(2x-y^2)^3/2] /3 |    dy
:    0                   |0
: 當x=0代入時  (-y^2)^3/2 出現了@@
: 這該如何繼續做下去?本來就可以做嗎Q_Q
: 根號裡面有負
: 還是說我根本列式列錯了


    我的做法僅供參考~~

          -1+√3   1-y      √[2x-y^2]
     V = ∫      ∫       ∫           dzdxdy
          -1-√3  (y^2)/2  -√[2x-y^2]


          -1+√3   1-y
       = ∫      ∫       2√[2x-y^2] dxdy
          -1-√3  (y^2)/2

                 ┌                                    ┐
          -1+√3 │     2           (3/2)   1 │1-y    │
       = ∫      │ 2．---．(2x-y^2)     ．---│       │dy
          -1-√3 │     3                   2 │(y^2)/2│
                 └                                    ┘
                    ┌                                    ┐
          -1+√3  2 │            2 (3/2)    2   2 (3/2)  │
       = ∫      ---│ (2 - 2y - y )     - (y - y )       │dy
          -1-√3  3 │                                    │
                    └                                    ┘
                    ┌              ┐(3/2)
          -1+√3  2 │            2 │
       = ∫      ---│ 3 - (y + 1)  │     dy
          -1-√3  3 │              │
                    └              ┘
                          ┌                  ┐(3/2)
          -1+√3  2       │     ┌  y+1  ┐2 │
       = ∫      ---．3√3│ 1 - │ ----- │  │     dy
          -1-√3  3       │     └  √3  ┘  │
                          └                  ┘

                   y+1                  1
       令 sinθ = ----- ， cosθdθ = -----dy => dy = √3 cosθ dθ
                   √3                 √3


           (π/2)          3
       = ∫        2√3 cos θ．√3 cosθ dθ
          -(π/2)


            (π/2)     4
       = 6∫        cos θdθ
           -(π/2)

      ∵ (cosθ)^4 為偶函數

            (π/2)   4
      => 12∫     cos θdθ
            0

              3．1    π
       = 12．------．---  (By Wallis' Fomula)
              4．2    2

          9
       = ---π
          4


      (以上拙見，懇請賜教...)

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 218.164.91.206
推 Fubini:第一題跟本用不到什麼Lagrange。別複雜化了
推 HUJIKOLP:我論他考你是為了要考你lagrange
→ HUJIKOLP:了不起在用高中向量法檢查@@沒啥好爭的
推 ahongyeh:因為上一篇有討論Lagrange，所以才這麼做
→ ahongyeh:不然這題用Lagrange是個不智之舉
→ ahongyeh:但是這用高中方法來做~~很快的~~
→ ahongyeh:扯不上微積分~~不過原PO要用微積分來做~~
→ ahongyeh:那就是用Lagrange~~
→ Fubini:搞不懂，向量不是微積分的一部分嗎？
推 HUJIKOLP:驚人的計算過程阿...我的算式很短T0T
→ HUJIKOLP:不過算出負的表示我應該錯了
推 ahongyeh:實在不想爭辯什麼...數學本一家~~就當作
→ ahongyeh:提供了另一種解法~~
→ ahongyeh:另外~~我也可以說1+1=2是微積分~~
→ HUJIKOLP:這沒啥麼啦@@!反正時間若不購就高中那套
→ Fubini:我也只是建議，沒爭論什麼阿！息怒樓上
→ Fubini: 息怒小葉子 才是
推 ahongyeh:沒有生氣啦~~只是剛剛被麵噎到~~有點火~~
→ ahongyeh:聽到別人叫我暱稱~我忽然有種害羞的感覺!
推 osirisobelis:第一題就點到平面距離而已...
→ sioumi:用柯西也可以喔 因為我向量不好XD