Re: [積分] 中興考古兩題

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《yhliu (老怪物)》之銘言：
: ※ 引述《coolbaby119 (小屈)》之銘言：
: : 2.Find the volume of the region of space bounded by the surface
: :   y^2+z^2=2x  and the plane x+y=1
: 曲面: 以 x 軸為中心軸的圓拋物面, 開口向右.
: 平面: 與 z 軸平行的一個平面
: 交集投影至 yz-平面: y^2+z^2=2(1-y)
:                  or (y+1)^2 + z^2 = 3
: R = {(x,y,z): (y+1)^2+z^2≦3, (y^2+z^2)/2≦x≦1-y}
:    Volume = ∫∫∫ dV
:                  R
推 coolbaby119:請問你們怎麼抓積分範圍的=.=
→ coolbaby119:課本都騙人Q_Q~
不要急著把責任歸咎於他人. 課本如何騙人? 你看懂課本
的說明了嗎?

積分範圍, 在三度空間是比較麻煩些. (那4度空間?n度?)

標準微積分教本事實上都有圖示如何取範圍. 除了二維平
面區域幾乎可以完全倚賴圖示以外, 三維以上尤其在考試
時沒有軟體幫你畫出3d曲面, 恐怕很難圖示. 而4維以上,
甚至 n 維, 是幾乎不可能看圖說話的.

然而, 2D,3D 的例子及教本上的說明, 事實上都已告訴我
們如何取積分範圍!

以本例來說, 在給定 y,z 之下看 x 的範圍是比較容易的.
因此, 把兩曲面相交的曲線投影到 yz-平面構成外兩層積
分(或直接以二維區域計算積分亦同)的積分區域. 即

    Volume = ∫∫          [1-y-(y^2+z^2)/2] dA
             (y+1)^2+z^2≦3

而這個積分, 可直接積, 或考慮
    y+1=r cosθ, z=r sinθ
的變換.

直接積分時,
   (y+1)^2+z^2≦3 投影至 y 軸為 -1-√3≦y≦-1+√3
   給定 y 時 z 的範圍 -√[3-(y+1)^2]≦z≦√[3-(y+1)^2]

積分範圍都是這麼決定的:
  外層: 區域投影到外層變數之軸/平面/子空間
  內層: 給定外層變數之值時, 內層變數的範圍
不論多少變數(多少維度), 都是這樣決定的.


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推 coolbaby119:謝謝y大~我會繼續努力的