推 MyCard:謝謝b的詳細解說 ... ... 219.91.69.235 07/03 00:04
推 spysea:感激不盡 61.223.71.95 07/03 12:17
※ 引述《spysea ()》之銘言：
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/undergra/95/95021.pdf
: 請問一下各位大大
: 第3題和第7題要用什麼方法算呢
: 謝謝解答
1.令 n = 1 ,
∞ lnx ∞ (lnx)^2 x→∞
原式 = ∫ ----- dx = ∫ lnx dlnx = [---------] = 發散~
1 x 1 2 x→1
2.令 n ≠ 1 ,
∞ 1
原式 = ∫ lnx -----d(x^(1-n)) 使用分部積分展開，
1 1-n
lnx x→∞ ∞ x^(1-n) 1
= ----- x^(1-n) ] - ∫ -------- .--- dx
(1-n) x→1 1 1-n x
------------
如果 n < 1 就會發散，而 n > 1 時 → lim lnx*x^(1-n) = 0
x→∞
所以原式 n > 1
1 1 1 x→∞
= 0 - ∫ ------ x^(-n) dx = - ------- x^(1-n) ]
∞ 1-n (1-n)^2 x→1
1
= ------ 收斂
(1-n)^2
所以，在 n > 1 收歛，n <= 1 發散
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