Re: [積分]今年政大微積分考題~

[pcboy0831 (在海灘上種花)]

※ 引述《fattybb (我愛小肚寶~)》之銘言：
:   1   X-1
: ∫   ----- dx = ???
:   0   lnX
: 拜託各位高手了~~


  有兩種作法

                  1
  1.  Let F(t) = ∫ (x^t - 1)/lnx dx
                  0

      then it's obvious that  F(0) = 0

       1
      ∫(x-1)/lnx dx = F(1) - 0 = F(1) - F(0)
       0

                            1
      F(1) - F(0) 可以寫成 ∫(dF/dt) dt = F(1) - F(0)
                            0

                     1                     1
      dF/dt = (d/dt)∫ (x^t - 1)/lnx dx = ∫ (d/dt)((x^t - 1)/lnx) dx
                     0                     0


      利用指數微分的公式 f^g --> (f^g) * ( (f'/f)g + (g')ln|f| )


               1                           x=1
            = ∫ x^t dx = (x^(t+1))/(t+1) |    = 1/(1+t)
               0                           x=0

                                  1
      代回去, 得到 F(1) - F(0) = ∫ 1/(1+t) dt = ln2
                                  0                  #

  2. 作法二, 令 u = ln(x) , e^u = x , (e^u)du = dx

      1                 0
     ∫ (x-1)/lnx dx = ∫((e^(2u) - e^u)/u )du
      0                -∞


        將 e^(2u) - e^u 視作是另一個積分, 範圍 [u,2u]

                        0  2u
                     = ∫ ∫(e^t)/u dtdu
                       -∞ u

        利用積分順序互換

                        0   t
                     = ∫  ∫ (e^t)/u dudt
                       -∞  t/2

                     = ln2
                           #
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僅供參考

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 125.232.3.188
推 HUJIKOLP:太強了~能問你第2法積分範圍怎麼交集的嗎
→ HUJIKOLP:看不出她能那樣fubini轉換積分
推 HUJIKOLP:看懂了不用解釋了@@!
推 fatan:這題在第七十篇就解過類似的
→ fatan:原PO這題是政大金融九一年的考古題吧
→ fatan:順便推pcboy0831是超強者orz
→ MiyaKami:強
推 ROGER2004070:其實這題是95台聯大第7題(B)的類似題
→ ROGER2004070:我在3490篇寫的就是王博的解法
推 ht15trep:超強的啦= =b
推 goshfju:作法二很神 怎麼想到的阿 囧
推 HUJIKOLP:這題讓我知道我哪裡不足~太感謝啦
→ HUJIKOLP:@@!不過這類題目我到有一題做不出來
推 dreamroyc:高手!
→ sioumi:快記起來 法2把e那個當另一積分好厲害
推 youyouyou:這題沒有挾積分的問題嗎?
推 HUJIKOLP:是暇積分沒錯阿
→ HUJIKOLP:不過它算來不尼茲的應用題型
→ HUJIKOLP:第一次算它還以為是gamma悶到