※ 引述《spysea ()》之銘言：
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/undergra/88/88020.htm
: 請問一下各位大大
: 第一大題的
: 第3題和第8題
: 還有第二大題的A.B
: 要怎嚜算呢
: 謝謝解答
1 (n)(y^(n-1))
3. lim ∫ -------------- dy = ________ 。
n→∞ 0 1 + 2y
1 (n)(y^(n-1))
解： lim ∫ -------------- dy
n→∞ 0 1 + 2y
1 1
= lim ∫ --------- d(y^n)
n→∞ 0 1 + 2y
y^n |1 1 -2
= lim (--------) | - ∫ (y^n)(------------) dy
n→∞ 1 + 2y |0 0 (1 + 2y)^2
1 1 (2)(y^n)
= --- + lim ∫ ------------ dy
3 n→∞ 0 (1 + 2y)^2
1 1 y^n
= --- + (2)( lim ∫ ------------ dy)
3 n→∞ 0 (1 + 2y)^2
1 y^n 1 1
由 0 < ∫ ------------ dy < ∫ y^n dy = ------- , n 屬於 N
0 (1 + 2y)^2 0 n + 1
1
及 lim ------- = 0 , 根據夾擠定理
n→∞ n + 1
1 y^n
得 lim ∫ ------------ dy = 0
n→∞ 0 (1 + 2y)^2
1 (n)(y^(n-1))
所以 lim ∫ -------------- dy
n→∞ 0 1 + 2y
1 1 y^n
= --- + (2)( lim ∫ ------------ dy)
3 n→∞ 0 (1 + 2y)^2
1 1 1
= --- + (2)(0) = --- + 0 = ---
3 3 3
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