Re: [多變] 最短距離

[ahongyeh (小葉子)]

※ 引述《river10911 (橘子)》之銘言：
: 求點(1,2,0) 與曲面z^2=x^2+y^2的最短距離
: 可以用拉格朗日解嗎?

當然可以~~不過我另外提供下列高中作法(配方法)~~

            2       2       2       2
原題意即求 d = (x-1) + (y-2) + (z-0)  之最小值

                2            2            2
             = x - 2x + 1 + y - 4y + 4 + z

                2            2            2    2
             = x - 2x + 1 + y - 4y + 4 + x  + y

                 2         2
             = 2x - 2x + 2y - 4y + 5

                  2       1        2                 1
             = 2(x - x + ---) + 2(y - 2y + 1) + 5 - --- - 2
                          4                          2

                      1  2        2   5
             = 2(x - ---) + 2(y-1) + ---
                      2               2

          2
    所以 d 的最小值為 5/2，即距離d的最小值為 √(5/2)

                                       1      √5       1       -√5
    此時在曲面上距此點最近距離之點為 (---，1，---) 或 (---，1，-----)
                                       2       2        2        2

(若有錯誤~~敬請指教~~)
※ 編輯: ahongyeh        來自: 218.164.76.211       (07/13 17:20)
推 imryoma:我套公式前先化簡 可以用Z=(X^2+Y^2)^1/2
→ imryoma:再代1.2  (1^2+2^2)^1/2 / 2^1/2 = √5/2
→ imryoma:不對 好像不太嚴僅 還是原PO方法比較清楚
推 river10911:謝謝妳非常清楚!!