※ 引述《spysea ()》之銘言：
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/undergra/88/88020.htm
: 請問一下各位大大
: 第一大題的
: 第3題和第8題
: 還有第二大題的A.B
: 要怎嚜算呢
: 謝謝解答
二、計算題
∞
B. 設 α > 0 且 β 為一不等於0的實數時 , 求暇積分 ∫ (e^(-αt))(sin(βt)) dt
0
的值。(其值以α及β的式子表出。)
解： ∫(e^(-αt))(sin(βt)) dt
-1 -1
= (---)(e^(-αt))(cos(βt)) - ∫(---)(cos(βt))(-α)(e^(-αt)) dt
β β
(令 u = e^(-αt) , dv = sin(βt) dt)
-1
(則 du = (-α)(e^(-αt)) dt , v = (---)(cos(βt)))
β
-1 α
= (---)(e^(-αt))(cos(βt)) - (---)(∫(e^(-αt))(cos(βt)) dt)
β β
-1
= (---)(e^(-αt))(cos(βt))
β
α 1 1
- (---)((---)(e^(-αt))(sin(βt)) - ∫(---)(sin(βt))(-α)(e^(-αt)) dt)
β β β
-1 α
= (---)(e^(-αt))(cos(βt)) - (----)(e^(-αt))(sin(βt))
β β^2
α^2
- (------)(∫(e^(-αt))(sin(βt)) dt)
β^2
α^2
(1 + ------)(∫(e^(-αt))(sin(βt)) dt)
β^2
-1 α
= (----)(e^(-αt))(cos(βt)) - (----)(e^(-αt))(sin(βt))
β β^2
β^2 + α^2
(-------------)(∫(e^(-αt))(sin(βt)) dt)
β^2
-1 α
= (----)(e^(-αt))(cos(βt)) - (----)(e^(-αt))(sin(βt))
β β^2
∫(e^(-αt))(sin(βt)) dt
-β α
= (-----------)(e^(-αt))(cos(βt)) - (-----------)(e^(-αt))(sin(βt)) + c
α^2 + β^2 α^2 + β^2
∞
∫ (e^(-αt))(sin(βt)) dt
0
R
= lim ∫ (e^(-αt))(sin(βt)) dt
R→∞ 0
(-β)(e^(-αt))(cos(βt)) (α)(e^(-αt))(sin(βt)) |R
= lim (-------------------------) - (------------------------) |
R→∞ α^2 + β^2 α^2 + β^2 |0
α
= -----------
α^2 + β^2
註 |cos(βR)| ≦ 1
0 ≦ |(e^(-αR))(cos(βR))| ≦ |e^(-αR)|
lim 0 ≦ lim |(e^(-αR))(cos(βR))| ≦ lim |e^(-αR)|
R→∞ R→∞ R→∞
因為 lim 0 = 0 = lim |(e^(-αR))|
R→∞ R→∞
所以由夾擠定理得 lim |(e^(-αR))(cos(βR))| = 0
R→∞
lim (e^(-αR))(cos(βR)) = 0
R→∞
-β
(------------)( lim (e^(-αR))(cos(βR))) = 0
α^2 + β^2 R→∞
|sin(βR)| ≦ 1
0 ≦ |(e^(-αR))(sin(βR))| ≦ |e^(-αR)|
lim 0 ≦ lim |(e^(-αR))(sin(βR))| ≦ lim |e^(-αR)|
R→∞ R→∞ R→∞
因為 lim 0 = 0 = lim |e^(-αR)|
R→∞ R→∞
所以由夾擠定理得
lim |(e^(-αR))(sin(βR))| = 0
R→∞
lim (e^(-αR))(sin(βR)) = 0
R→∞
-α
(-----------)( lim (e^(-αR))(sin(βR))) = 0
α^2 + β^2 R→∞
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