Re: [多變] 曲面( x-y )^2 - z^2 = 1 到原點之最小 …

[b94501010 (海鮮不新鮮)]

※ 引述《damn422 (承佑)》之銘言：
: 問題：曲面( x-y )^2 - z^2 = 1 到原點之最小距離          ANS: √2/2
: 有想到用Lagrange multipliers
: 目標: minimize √(x^2 + y^2 + z^2)
: s.t.  ( x-y )^2 - z^2 = 1
: 然後前式 - λ後式，算偏微分 = 0，，不過算不出來...
: 不知板上強者們有何高招？

用Lagrange Multiplier

Let f(x,y,z)=d^2=x^2+y^2+z^2
    g(x,y,z)=(x-y)^2-z^2=1


   ▽f=λ▽g
=> 2x=2λ(x-y)  ..................(1)
   2y=-2λ(x-y) ..................(2)
   2z=-2λz     ..................(3)
   (x-y)^2-z^2=1..................(4)

由(1),(2),(3),(4)式聯立求解(x,y,z) :
由(3)=> z=0 or λ=-1

ifz=0: 求得兩組解(1/2,-1/2,0),(-1/2,1/2,0)

ifλ=-1: 由(1)及(2)=> x=y=0
         但由(4)=>z^2=-1
         故無解

然後將(1/2,-1/2,0),(-1/2,1/2,0) 帶入f(x,y,z)=d^2=x^2+y^2+z^2
求得d^2=1/2  故d=1/√2

(p.s. 因為d^2的偏微分較d簡單,又Minimize d ≡ Minimize d^2,所以令
      f(x,y,z)=d^2=x^2+y^2+z^2 )



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.224.90.19
推 damn422:簡潔扼要  拜收了
→ damn422:我沒從(3)看出這樣的關係 而一直卡在無解
→ damn422:多問一個喔 ▽不是gradient嗎?也能表偏微?
→ b94501010:▽f(x,y,z)是梯度向量:<fx,fy,fz>