※ 引述《hanabiz (茄草子)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板]
: 作者: hanabiz (茄草子) 看板: Math
: 標題: [微積] 請問一題關於Dirichlet函數的證明
: 時間: Wed Oct 10 23:17:21 2007
: Dirichlet函數
: f(x) = 1,x rational
: = -1,x irrational
: 處處不連續
: 請用ε,δ來證明
: 這題我百思不得其解....麻煩各位高手救我@@
嚴格寫仔細.
(1) 當 a 是有理數, 我們證明 f(x) 在 x = a 上面是不連續的,
即說明存在 ε_0 > 0, 對任意的 δ > 0, 皆存在一點 x in (a-δ,a+δ)
使得 | f(x) - f(a) | ≧ ε_0. 我們也不囉唆直接取 ε_0 = 1.
接著對任意的 δ > 0, 我們只要找到 irrational number x in
(a-δ, a+δ) 就可以了 (這樣 | f(x) - f(a) | = 2 ≧ 1.)
當 δ 是有理數, 取 x = a + δ/√2, x 為無理數
當 δ 是無理數, 取 x = a + δ/2, x 為無理數.
(2) 當 a 是無理數. 對任意的 δ > 0, 我們只要找到有理數 x in
(a-δ, a+δ) 就可以了 (這樣 | f(x) - f(a) | = 2 ≧ 1.)
當 a-δ 是有理數, 取 x = a - δ/2, x 為有理數.
當 a-δ 是無理數, 我們在 (a-δ,a) 兩個無理數之間找個有理
數就可以了. 因為 a > a-δ 不一樣, 把 a-δ, a 寫成無窮小數
形式, 並假設在小數第 N 位開始不同:
a = * . a_1 a_2 a_3 ... a_N ...
a-δ = * . a_1 a_2 a_3 ... b_N ...
那麼我們可以取 x = * . a_1 ... a_{N+1}.
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