※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之銘言：
: ※ 引述《iamOrz (I am Orz)》之銘言：
: : ∞ x^2
: : ∫e^( x - --- ) dx
: : -∞ 2
: ∞ x - 1 x - 1 x - 1
: = √2 √e ∫e^[ - ( ----- )^2 ] d( ----- ) ( Let u = ----- )
: -∞ √2 √2 √2
: ∞
: = √2 √e ∫e^(-u^2) du
: -∞
∞ ∞
Let ∫e^(-x^2) dx = I , so ∫e^(-y^2) dy = I
-∞ -∞
∞ ∞
I^2 = ∫ ∫e^[-(x^2+y^2)] dxdy
-∞ -∞
Let x = r cosθ , y = r sinθ , x^2+y^2 = r^2 , dxdy = rdrdθ
r：0 ~ ∞，θ：0 ~ 2π
2π ∞ ∞
I^2 = ∫ ∫e^(-r^2) rdrdθ = 2π∫e^(-r^2) (1/2) d(r^2)
0 0 0
∞ │T
= π∫e^(-r^2) d(r^2) = π Limit [ - e^(-r^2) ]│
0 T→∞ │0
__
= π [ 0 - ( - 1) ] = π => I = √π
∞ __
∴ ∫e^(-u^2) du = √π
-∞
∞ x^2
∫e^( x - --- ) dx
-∞ 2
_ _ ∞ x - 1 x - 1 x - 1
= √2 √e ∫e^[ - ( ----- )^2 ] d( ----- ) ( Let u = ----- )
-∞ √2 √2 √2
_ _ ∞
= √2 √e ∫e^(-u^2) du
-∞
_ _ __ ____
= √2 √e √π = √2eπ
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◆ From: 140.122.225.109