Re: 初學極限證明 懇請指點~

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《nimura14 (再見了，親愛的。)》之銘言：
: ※ 引述《yhliu (老怪物)》之銘言：
: : For any ε>0, 你要證明
: :   存在 δ>0 使得 (0<|x-2|<δ ==> |x^2-4|<ε)
: : 所以, 目標是要找出使 |x^2 - 4|<ε 的充分條件, 用
: : "0<|x-2|<δ" 表示.
: : 由於 |x^2 - 4| = |x+2|‧|x-2|, 顯然必須設法先控制
: : |x+2| 的大小, 以便能藉由控制 |x-2| 來控制 |x^2-4|.
: : 由於談的是 x→2, 因此不妨限制考慮範圍 |x-2|<1, 即
: : 1<x<3. 這樣限制的話, 保證 |x+2|<3, 從而
:                             ^^^^^^^^
: 1<x<3的話,那不是應該是 3<x+2<5, |x+2|<5 是這樣嗎?

對! 似乎當時已有人指正了?

: 為什麼要取3? 我這邊一直搞不懂
抱歉! 因頭腦不清寫錯害你看不懂. 我以為那個錯誤很明
顯看的人很容易可以自動修正的.

: :    |x^2 - 4| ≦ 3|x-2|
: : 因此只要能保證 0<|x-2|<ε/3 且 |x-2|<1, 即能保證
: : |x^2 - 4|<ε.
:
: 給一個任意的e>0,就存在 d=d(e)>0
: 使得 當 0<|x-2|<d 的時候 |x^2-4|<e
這是你要證明的.
:
: |x^2 - 4| = |x+2|‧|x-2| < e ........... (1)
:
: 設|x-2|<1 => 1<x<3 => 3<x+2<5 => |x+2|<5
:
: 5‧|x-2|< e  =>  |x-2|< e/5 -----> d 代回去 (1) 裡
               ^^改成 "<==>". (Why?) ^^這個 d 是有點問題的.
                                       另外, 這樣的寫法不好.
令 d = min{1,e/5}
則:
當 0<|x-2|<d 時得
:
: |x^2 - 4| < 5‧e/5 =>  |x^2 - 4| < e  得證
                     ^^^^^^^^^^^^^^^^^
                     直接 "=e" 就好了!
                     雖然你這樣寫也沒錯!
:
:
: 上面是我自己寫的
: 考試時這樣寫可以嗎?
: 我還是覺的有點怪怪的...
:
: 有那些地方有錯或是有要修改的嗎?
: 煩請板上的高手們教育一下  謝謝  Q_Q
:
:

主要是
   "5‧|x-2|< e  =>  |x-2|< e/5 -----> d"
這敘述.
(1) 我建議把 "=>" 改成 "<==>", 其實本來的推論是:
    為了使 5|x-2|<e, 必須 |x-2|<e/5.
    也就是說, 你需要的敘述是
       5‧|x-2|< e  <==  |x-2|< e/5
(2) "e/5 -----> d" 這種 "示意" 符號不是通用的.
    不同人, 不同場合可能用它來表示不同意思. 但
    你的意思應是 "取 d=e/5", 為甚麼不這麼寫?
    而且後面那個 "代回..." 的說明也可以免了.
    考試時, 一方面是時間限制, 另方面你寫得太囉
    唆閱卷者可能被弄混了.
(3) 取 d=e/5 是不夠的, 因為先前做了限制 |x-2|<1.
    因此取 d=min{1,e/5}, 則
      0 < |x-2| < d ==> |x-2|<1 且 0<|x-2|<e/5
    要導出 |x^2-4|<e 需要同時滿足上列右邊兩個條件.


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◆ From: 163.15.188.87
推 nimura14:喔喔~了解 我怕說因為是證明題,想說寫細
→ nimura14:一點,怕說如果連自己都說服不了,怎麼說服
→ nimura14:別人~ 先去上班,晚上再來慢慢思考
→ nimura14:感謝各位幫忙解惑 謝謝^^
※ 編輯: yhliu           來自: 163.15.188.87        (01/24 15:09)
推 nimura14:d=min{1,e/5} 這是什麼意思阿?
→ nimura14:我知道T板友有說"d不是1就是e/5"
→ nimura14:min{} 這符號是像集合那種符號嗎?
→ nimura14:再一次感謝,終於懂了~~~  謝謝^^
→ yhliu:min{a,b} 就是取 a, b 兩個之中較小的.