※ 引述《iamOrz (I am Orz)》之銘言：
: ∫[x^(2n)]*cos(2x)dx = ?
: ∫[x^(2n+1)]*e^(x^2)dx = ?
第一題:
i2x
利用 ∫[x^(2n)]*e dx = ∫[x^(2n)]*cos(2x)dx + ∫[x^(2n)]*(i)*sin(2x)dx
i2x 2n 1 i2x 2n-1 1 2 i2x
∫[x^(2n)]*e dx = x *(---*e ) - (2n)*x *(---) *(e )
2i 2i
2n-2 1 3 i2x
+ (2n)*(2n-1)*x *(---) *(e )
2i
2n-3 1 4 i2x
- (2n)*(2n-1)*(2n-2)*x *(---) *(e ) + - ...
2i
由實部等於實部
2n 1 2n-1 1 2
∫[x^(2n)]*cos(2x)dx = x *(---)(i*sin2x) - (2n)*x *(---) *(cox2x)
2i 2i
2n-2 1 3
+ (2n)*(2n-1)*x *(---) *(i*sin2x)
2i
2n-3 1 4
- (2n)*(2n-1)*(2n-2)*x *(---) *(cos2x) + - ...
2i
2n 1 2n-2 1 3
= {x *--- - (2n)*(2n-1)*x *(---) + -... }*(sin2x)
2 2
2n-1 1 2 2n-3 1 4
- {(2n)*x *(---) +(2n)*(2n-1)*(2n-2)*x *(---)
2i 2i
+ - ...}*(cos2x)
= 自己整理成級數方式吧!!
第二題:
2
2n x
∫[x^(2n+1)]*e^(x^2)dx =∫x *e *xdx
2
1 2 n x 2
=---*∫{x } *e d(x )
2
2
令 x = u
1 n u
=---*∫u *e du
2
1 n u n-1 u
=---*{u *e - n*u *e + -.....}
2
1 n n-1 n-2 u
=---*{u - n*u + n*(n-1)*u - + ...}* e
2
2
帶回 u = x 再自行整理成級數方式表示吧!!
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