Re: [單變] 積分不等式--證明

[G41271 (茶)]

※ 引述《WZD (" ￣.￣)/ 錄取(！)》之銘言：
: 請問如何證得下列不等式，謝謝
: π　　１　　　　　　　π
: －＜∫　√(1-x^4)dx＜ －√２
: ４　　０　　　　　　　４
: 感謝

1-x^4 = (1-x^2) (1+x^2 ) > (1-x^2)*1 >0

兩邊開根號後推出

√(1-x^4) > √(1-x^2)



另外 因為  0 < (1-x^2)^2 = 1-2x^2+x^4

1-2x^2 > -x^4     2-2x^2 > 1-x^4 >0

兩邊開根號後得出

 √2 * √(1-x^2) > √(1-x^4)



所以


√(1-x^2)＜　√(1-x^4)＜  √2 * √(1-x^2)     (0<x<1)


 1              1               1
∫√(1-x^2)dx＜∫√(1-x^4)dx ＜∫√2 √(1-x^2)dx
 0              0               0


而√(1-x^2) 用三角代換就OK了

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.114.200.88
推 WZD:真詳細，謝謝！