推 Helios:真是感謝，還好有上來問，自己算的話...122.117.140.238 04/22 12:11
※ 引述《Helios (冷風醉月)》之銘言：
: sin-1(x)
: 1.∫────── dx
: (1-x^2)^2/3
: x
: 2.∫sin-1(─────)^1/2 dx
: x + a
: e^tan-1(x)
: 3.∫────────dx
: (1 + x^2)^3/2
: 出處:王氏細說微積分
: 麻煩高手解一下了，萬分感謝。
1.令人心煩意亂的一題
不過可先湊出arcsin(x)的微分
然後找代換
=S{1/[1-(x^2)]^(1/6)}*{arcsin(x)/[1-(x^2)]^(1/2)} dx
所以可令u=arcsin(x),du=dx/[1-(x^2)]^(1/2)
=S[sec^(1/3)u]*u du
然後用代換w^3=secu來去掉三次方
3w^2dw=(secu*tanu)du=w^3*(w^6-1)^(1/2)du
du=3dw/[w*(w^6-1)^(1/2)]
原式=3*S arcsec(w^3)/(w^6-1)^(1/2) dw
再觀察arcsec(w^3)之微分
可知須上下同乘w才能代換
所以令z=arcsec(w^3),dz=3dw/[w*(w^6-1)^(1/2)]
=S w*z*dz
然後令y=z^2,dy=2zdz
=(1/2)Swdy=(1/2)wy - Sydw
第二項積分Sydw=(1/2)S [arcsec(w^3)]^2 dw
等於是在繞迷宮
最後用Wofram積分器算出來的結果
供大家參考
除了arcsec之外
還包含Gamma與超幾何函數
你就知道這題有多累人了...ORZ
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%7Barcsec%5Bx%5E3%5D%7D%5E2
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