※ 引述《alwyner (Time is money!!)》之銘言：
: 設 θ 在(0 , π/2),試證： 2/π < sinθ/θ < 1
: pf:)
: sinθ
: 1. 當θ在(0 , π/2)之間 => sinθ<θ ∴------- < 1
: θ
: sinθ 2
: 2. g(θ) = ------ － ---
: θ π
:
: 又當θ在(0 , π/2)之間
: => sinθ < θ < tanθ < secθ
: θcosθ-sinθ
: g'(θ) = ------------------- < 0
: θ^2
:
任取 0 < θ < π/2 , 定義 g(t) : ( 0 , π/2 ) → R 為
sin t 2
g(t) = ------- - ------ .
t π
t * cos t - sin t
=> 對 0 < t < π/2 , g'(t) = ---------------------- < 0
t^2
g 在區間 [ θ , π/2 ] 上連續 , 在 ( θ , π/2 ) 上可微
由 Mean-Value Theorem , 存在 θ < ζ < π/2 使得
g(π/2) - g(θ) - g(θ)
------------------- = -------------- = g'(ζ) < 0
π/2 - θ π/2 - θ
因此 , g(θ) > 0
2
∴ g(θ) > ------ , 對 0 < θ < π/2
π
....
: 一階微分小於0，表示遞減，所以呢...怎麼把步驟2的部分證明出來？
: 我不知道該怎麼做了...
: 麻煩知道的跟我指導一下！
: 感謝喔!!!
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