Re: [積分] 請教一題求體積

[LeoRen (Eugene Hecht)]

 ※ 引述《yummy100 (LING)》之銘言：
: 拜託~幫忙解答~
: 求   ∫∫∫(x^2 + y^2 + z^2)  所圍體積?    R:{ x+y+z=a , x=0, y=0, z=0}
:        R
: Ans: a^5 /20

   a  a-z  a-z-y
  ∫ ∫   ∫     (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz
   0  0    0
    a  a-z
  =∫ ∫   (1/3)*(a-z-y)^3 + (y^2 +z^2)(a-z-y) dydz
    0  0
    a
  =∫ (1/2)*(z^2)*(a-z)^2 + (1/6)*(a-z)^4 dz
    0

  = (1/2)*[(a^5)/3 - (a^5)/2 + (a^5)/5] - (-1/30)a^5

  = (1/60 + 1/30)a^5

  = (1/20)a^5


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◆ From: 118.160.177.227
推 yummy100:請問第二個積分怎麼積的?
→ LeoRen:用看的 (-1/12)(a-z-y)^4 + z^2(a-z)y -
→ LeoRen:(1/2)z^2y^2 + (1/3)(a-z)y^3 - y^4/4
→ LeoRen:看y積分,不要真的去展開,之後同冪項會簡化