推 euler3002:恩 謝謝h大 所以意思因為中間那塊繞x和 59.112.0.243 06/26 21:20
→ euler3002:y所得的體積不同所造成的 59.112.0.243 06/26 21:20
→ Honor1984:嗯 也可以這麼說 122.124.103.17 06/27 02:26
※ 引述《euler3002 (無)》之銘言：
: Y
: |
: ╭--┬-┬--╮ x^2 + y^2 = a^2 , y = √a^2-x^2
: │A │ │B │
: -- │ │.│ │------->x
: │C │ │D │
: ╰--┴-┴--╯
: |a/2 a
: |
: 如圖（我知道很醜,但請把他想成一個圓） , 中間[-a/2,a/2]是空的, 如果要求上半球
: 的體積 (也就是繞y軸旋轉的後 A+B), 可以用圓柱殼法, ∫2πx (√a^2-x^2) dx ,
: 範圍[a/2,a] , 求出來是 [√3/4]πa^3 ;
: 如果要求右半球的體積(也就是繞x軸旋轉的後B+D),可以用圓盤法,∫π(√a^2-x^2)^2 dx
: 範圍[a/2,a] , 求出來是 (5/24)πa^3,
: 很明顯, 二者體積不同; 但是我想問的是, 如果從圖型上來看A的體積等於B
: 且B的體積等於D
: 那麼, A+B = B+D , 二者體積不就相同了嗎? 是哪裡出錯了呢?
: 另外, 想請問一下, 繞y軸旋轉的上半球A+B可以用圓盤法嗎? 謝謝
: 最近算微積分, 算到有有點秀斗...
你想到這個問題我也覺得很有趣阿
如果都用你計算體積的方式
大致可以解釋你計算出來不相同的結果(但是要預測可能沒這麼直觀 怕有剛好的情形)
你會發現求B+D比A+B繞的距離要長
就是因為A+B繞y軸的情況是每個點是從a/2開始增加到a
但是B+D繞x軸的情況則是從0開始增加到a
繞的長度不同
體積也可能不同
另外一個觀點是
你把整個圖形全部繞X軸的體積是球缺中間一片扁圓柱
但是繞Y軸卻是球被一個細長圓柱貫穿
這兩種情況是 繞X軸小於繞Y軸
所以把兩種情況各自除以二
就分別是B+D及A+B
所以B+D < A+B
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