※ 引述《ggyy340 (阿甘)》之銘言：
: find the volume of the solid T enclosed by the surface
: (x^2+y^2+z^2)^2=2z(x^2+y^2)
: 不曉得怎麼算 大家幫我看看
令 x = (ρ)(cosθ)(sinψ)
y = (ρ)(sinθ)(sinψ)
z = (ρ)(cosψ)
則 |J| = (ρ^2)(sinψ)
(x^2 + y^2 + z^2)^2 = 2z(x^2 + y^2)
(ρ^2)^2 = (2)(ρ)(cosψ)(ρ^2)((sinψ)^2)
ρ = (2)((sinψ)^2)(cosψ) ≧ 0
cosψ ≧ 0
π
0 ≦ ψ ≦ ---
2
所求體積
2π π/2 (2)((sinψ)^2)(cosψ)
= ∫ ∫ ∫ (ρ^2)(sinψ) dρdψdθ
0 0 0
2π π/2 ρ^3 |ρ = (2)((sinψ)^2)(cosψ)
= ∫ ∫ (----)(sinψ) | dψdθ
0 0 3 |ρ= 0
2π π/2 8
= ∫ ∫ (---)((sinψ)^7)((cosψ)^3) dψdθ
0 0 3
2π π/2 8
= ∫ ∫ (---)((sinψ)^7)((cosψ)^2)(cosψ) dψdθ
0 0 3
2π π/2 8
= ∫ ∫ (---)((sinψ)^7)(1 - (sinψ)^2)(cosψ) dψdθ
0 0 3
2π π/2 8
= ∫ ∫ (-)(((sinψ)^7)(cosψ) - ((sinψ)^9)(cosψ)) dψdθ
0 0 3
2π 8 (sinψ)^8 (sinψ)^10 |ψ= π/2
= ∫ (-)(--------- - ----------) | dθ
0 3 8 10 |ψ=0
2π 8 1 1
= ∫ (-)(--- - ----) dθ
0 3 8 10
2π 8 5 - 4
= ∫ (-)(-------) dθ
0 3 40
2π 1 θ |2π 2π
= ∫ ---- dθ = ---- | = ----
0 15 15 |0 15
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◆ From: 61.66.173.21