[考古] 台大考古 請教

[le5868ov (我一定要上榜wow)]

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1.計算向量場 F(x,y,z) = x i+ y j+ zcosx k  流出球面 x  + y + z  = a 的通量.

我的算法：

  flux = ∫∫∫▽‧F dV


  其中▽‧F = 1 + 1 + cosx = 2 + cosx ,....再來我就卡住了= =  帶進去以後如果用

  x,y,z坐標會很醜很難積,但是換成球座標...cosx,x用ρsinψcosθ代的話很恐怖...

  反璞歸真用 flux = ∫∫F‧n‧dσ

           x + y + z             z
  = > n = -----------  ,  dσ = --- dxdy
               z                 a


  flux = ....也好醜 這樣子做下去是對的嗎...救救我XD


2.甲乙兩人賽跑,同時出發且同時抵達終點,中間的過程互有快慢.試證必存在某個時刻,

  兩人具有相同的速度.令f(x)和g(x)分別為兩人在t時刻的位置,t借於[a,b],並假設它

  們皆可為微分的函數。


  這題是用均值定理吧？ 但是..我不知道怎麼寫算是完整沒有瑕疵的証明><"


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3. C為平面 x - 2y + 2z = 9 和球面 x  + y  + z  = 25 相交成的圓.

a)求圓C的圓心和平面 x - 2y + 2z = 9 過圓心的法線參數式.

sol:

圓C的法向量 n = (1,-2,2) ,以n為球心和圓心的方向向量,可以得到這一條線的參數式

也等於過圓心的法線參數式 x = t, y = -2t, z = 2t.

將參數式帶入平面可得圓心 t = 1, 圓心 = (1,-2,2)

圓心到球心距離3,球的半徑5,所以圓C半徑 r = 4

第一題大概是這樣子吧@@?!

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b) F = -2z  i + x j  - 4z  k.  C：自原點望去依順時針旋轉,求線積分


  ∮ F‧dr 之值。
   c

sol:

F經過驗算 不是保守場 所以答案不為0 ...

再來呢...?


因為剛學...所以不是很會,誠懇的請各位指教,教導我 ,謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.227.61.94
推 fong1014:第一題你的做法是對的，這題不好算。
→ fong1014:2.是均值沒錯，這是古老的有名題；第三題
→ fong1014:是用STOKES 定理，先求出旋度，在對ds內
→ fong1014:積做面積分，想成空間中的GREEN定理。
→ fong1014:參照3221篇
推 zptdaniel:第二題 我覺得可以試試看G.M.V.T
→ le5868ov:有高手可以把第二題寫一遍給我看嗎？
→ le5868ov:不知到完整的寫法><"
推 michaelgod:第三題有強者可以提供詳細過程嗎 感激~