Re: [積分] 師大92微積分

[LuisSantos ( )]

※ 引述《monene5566 (機掰凱文)》之銘言：
: 1.
:    oo      1
:   ∫  ------------- dx =
:   -oo  e^x +  e^-x
: 這題我算出來是發散 可是不知道答案對不對
: 2.
:       1    1
:  證  ∫ ------ = pi
:       0  1+x^2
: 這題積分出來 應該是     -1       -1
:                      tan  1 - tan  0  =  pi/4
: 怎麼跟題目不太一樣= =? 還是我哪裡算錯了?

你的答案是對的


: 3.
: 題目只說導出半徑為r的球體表面積
: 這題我用半圓繞X軸 算出來是(π^2)(r^2) 跟原本公式的 4πr^2不一樣
: 我翻過細說微積分上面說 表面積會有誤差 但是請問一下公式是怎樣導的?
: 還是我寫原本導出的結果也對?   謝謝大家:)

球的表面積可視為半徑為r的上半圓 , 繞 x 軸旋轉一圈所得的立體表面積

x^2 + y^2 = r^2 , y ≧ 0

令 x = (r)(cosθ) , y = (r)(sinθ) , 0 ≦θ≦π

則 dx = (r)(-sinθ) dθ , dy = (r)(cosθ) dθ

(dx)^2 + (dy)^2 = ((r^2)((sinθ)^2) + (r^2)((cosθ)^2)) dθ

                = (r^2)((sinθ)^2 + (cosθ)^2) dθ  =  r^2 dθ

dL = √((dx)^2 + (dy)^2) = r dθ

dS = 2πy dL = (2π)(r)(sinθ)(r) dθ = (2π)(r^2)(sinθ) dθ

  S

= ∫dS

   π
= ∫ (2π)(r^2)(sinθ) dθ
   0

                     |π
= (2π)(r^2)(-cosθ) |     =  (4π)(r^2)
                     |0



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◆ From: 61.66.173.21
推 monene5566:請問一下如果不換成極座標積分 為何
→ monene5566:有誤差呢? 謝謝L大熱心指教
推 monene5566:補充一下 我只是沒換成極座標積分
→ monene5566:但是步驟都跟L大一樣 算出的答案也沒錯
→ monene5566:是pi^2 r^2 但是不是應該要一樣的嗎?