Re: [考古] 台大92微積分B卷

[LuisSantos ( )]

※ 引述《le5868ov (我一定要上榜wow)》之銘言：
: 1.              2                      f(x)
:    設f(x) = √(x  + 3x) .令 A = lim   ------ ,求 lim  (f(x) - Ax)之值
:                                x→-∞    x      x→-∞
:                          1    2
: 2.求 0 < k < 1之值,使得 ∫ | x  - kx | dx 為極小.
:                          0
:   積分沒算過絕對值的...怎麼算呢？

  1
 ∫ |x^2 - kx| dx
  0

   k                  1
= ∫ |x^2 - kx| dx + ∫ |x^2 - kx| dx
   0                  k

   k                1
= ∫ kx - x^2 dx + ∫ x^2 - kx dx
   0                k

(0 < x < k => x^2 < kx => kx - x^2 > 0)

(k < x < 1 => kx < x^2 => x^2 - kx > 0)

  (k)(x^2)    x^3  |k      x^3   (k)(x^2)  |1
= -------- - ----- |   +  (--- - --------) |
     2         3   |0       3       2      |k

   k^3       1     k       k^3     k^3
= ----- + ((--- - ---) - (----- - -----))
    6        3     2        3       2

   k^3     1     k     k^3       k^3     k     1
= ----- + --- - --- + -----  =  ----- - --- + ---
    6      3     2      6         3      2     3

           k^3     k     1
令 f(k) = ----- - --- + ---
            3      2     3

                  1
則 f'(k) = k^2 - ---
                  2

                         1
令 f'(k) = 0  , 則 k = -----  (0 < k < 1)
                        √2

f"(k) = 2k

     1
f"(----) = √2 > 0
   √2

            1
所以當 k = ---- 時 ,
           √2

 1
∫ |x^2 - kx| dx 為極小
 0







: 3.                                        π
:   設f(x) 為 g(x) = x + sinx 之反函數 ,求 ∫ f(x) dx 之值
:                                           0
: 反函數不好找 該如何是好？
: 懇請各位幫幫忙
: 謝謝!!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.66.173.21
→ le5868ov:感謝你！