Re: [積分] 面積

[LuisSantos ( )]

※ 引述《bighead0720 (ocean)》之銘言：
: 求曲線γ(t) = (cost)^3 i + (sint)^3 j 在 0≦t≦2π 所圍區域之面積
: 我想請問這種題目只能用Green's Theorem做嗎?
: 有沒有其它的方法呢? 感激不盡:D


x = (cos(t))^3
                =>  x^(2/3) + y^(2/3) = 1
y = (sin(t))^3


圖形為星芒線


A = ∫y dx

         0
  = (4)(∫    ((sin(t))^3)(3)((cos(t))^2)(-sin(t)) dt)
         π/2

          π/2
  = (12)(∫    ((sin(t))^4)((cos(t))^2) dt)
          0

          π/2
  = (12)(∫    ((sin(t))^4)(1 - (sin(t))^2) dt)
          0

          π/2
  = (12)(∫    (sin(t))^4 - (sin(t))^6 dt)
          0

           3    1    π      5    3    1    π
  = (12)((---)(---)(---) - (---)(---)(---)(---))
           4    2    2       6    4    2    2

              5    3    1    π
  = (12)(1 - ---)(---)(---)(---)
              6    4    2    2

          1    3    1    π         3π
  = (12)(---)(---)(---)(---)   =   -----
          6    4    2    2           8



P.S. Wallis 公式

  π/2
 ∫    (sinθ)^n dθ
  0

   π/2
= ∫    (cosθ)^n dθ
   0

   n-1  n-3      1    π
  (---)(---)...(---)(---) , n 為偶數
    n   n-2      2    2

=
   n-1  n-3      2
  (---)(---)...(---)(1) , n 為奇數
    n   n-2      3




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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.66.173.21
推 bighead0720:感謝 :D
→ bighead0720:不過A=∫y dx也是Green定理的推廣?
→ ppp9654:不是吧...