※ 引述《JULIKEBEN (JU)》之銘言：
: 1.find the valume common to two spheres , each
: with radius r , if the center of each sphere lies on the surface of the other sphere.
: 2.find the exact length of the polar curve r=Θ for 0<=Θ<=2兀
: 請高手解答一下
: 謝謝
2.
2π
所求弧長 = ∫ √(r^2 + (dr/dθ)^2) dθ
0
2π
= ∫ √(θ^2 + 1) dθ
0
先計算 ∫√(θ^2 + 1) dθ
令 θ = tanx , 則 dθ = (secx)^2 dx
∫√(θ^2 + 1) dθ
= ∫(secx)((secx)^2) dx
= ∫(secx)^3 dx
= ∫secx d(tanx)
= (secx)(tanx) - ∫tanx d(secx)
= (secx)(tanx) - ∫(tanx)(secx)(tanx) dx
= (secx)(tanx) - ∫(secx)((tanx)^2) dx
= (secx)(tanx) - ∫(secx)((secx)^2 - 1) dx
= (secx)(tanx) + ∫secx dx - ∫(secx)^3 dx
(2)(∫(secx)^3 dx) = (secx)(tanx) + ln|secx + tanx|
(secx)(tanx) 1
∫(secx)^3 dx = ------------ + (---)(ln|secx + tanx|) + c
2 2
∫√(θ^2 + 1) dθ
= ∫(secx)^3 dx
1 1
= (---)(secx)(tanx) + (---)(ln|secx + tanx|) + c
2 2
1 1
= (---)(√(θ^2 + 1))(θ) + (---)(ln|√(θ^2 + 1) + θ|) + c
2 2
2π
∫ √(θ^2 + 1) dθ
0
1 1 |π
= (---)(θ)(√(θ^2 + 1)) + (---)(ln|θ + √(θ^2 + 1)|) |
2 2 |0
1 1
= (---)(π)(√(π^2 + 1)) + (---)(ln(π + √(π^2 + 1)))
2 2
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