Re: [考古] 86清大理工

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《monene5566 (機掰凱文)》之銘言：
: 囧  又有好幾題需要版友指教了
: 2.
:   1    x^2  +  1
:  S  ---------------- dx=?
:   0    x^4  +  1
: 試過許多替換 但都不行 請指教  謝謝:)

     x^2 + 1
= ---------------
  (x^2+1)^2-2x^2

    x^2 + 1
=-------------------------
  (x^2+x√2+1)(x^2-x√2+1)

             1                1
=(1/2)(--------------  +  ----------- )
         x^2+x√2+1        x^2-x√2+1

       1
∫--------------dx
   x^2+x√2+1

        1
=∫-----------------dx
   (x+1/√2)^2+(1/2)

         √2
=∫-----------------d(x√2+1)
    (x√2+1)^2 + 1


= √2arctan(x√2+1)

同理

       1
∫--------------dx
   x^2-x√2+1


=√2arctan(x√2-1)

所以積分的結果為
                                        1
=[(√2)/2][arctan(x√2+1)+arctan(x√2-1)]│
                                        0

=[(√2)/2][(3/8)π-π/4+π/8+π/4]

= (π√2)/4

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 122.124.106.150
推 t0127754:化分項分式真的要很有耐心 XD
推 zptdaniel:這題..真的可以不用這麼麻煩
→ Honor1984:怎麼做比較簡單?
→ Honor1984:三角代換? 還是雙曲函數?
推 zptdaniel:原題上下除以X^2接下來稍微想一想就可以
→ Honor1984:嗯  我已經知道了1+1/x^2 dx = d(x-1/x)
→ Honor1984:想到這一點就差不多了