推 frekfrek:第一題有兩個答案喔 218.162.86.77 07/12 10:53
推 dodo1654:謝謝g大的幫忙 124.8.136.126 07/12 23:23
※ 編輯: goshfju 來自: 59.117.74.156 (07/13 01:40)
※ 引述《dodo1654 (secret)》之銘言：
: ※ 引述《axis0801 (Xavier)》之銘言：
: : -1 x+1 -1
: : 1. 證 tan (-----) + tan x = C (constant) 並求 C 值
: : x-1
: : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^此部份令為 f(x) => f'(x)=0 得證
: : 將 x=1(x>0), x=0, x=-1(x<0)個別代入 f(x)可求出 C值 Ans:0, 3π/4, -π/4
: 我想問一下上述C值答案對嗎?
: 還有要怎麼求 C 呢?
你可以把它微分後得到0 所以就是常數囉
至於常數值~就代點進去就好囉~
我想這三個點代進去都是 -π/4 吧~沒有那麼多答案喔
或令α=arctan[(x+1)/(x-1)] , β=arctan(x)
利用tan(α+β)= (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)常數值就出來囉~
: : n n
: : ∞ (-1)(x-4)
: : 2. Σ ----------- 問的是收斂區間和級數和 Ans:收斂區間(3,5]
: : n=0 n + 1
: ln(x-3)
: 級數和---------
: 我會求收斂區間 x-4
: 但想問一下級數和怎麼算
令f(x)=ln(x-3)
(很技巧性~但曾經展開過lnx就比較能想到! )
f'(x) = 1/(x-3) = 1/(1-[-(x-4)]) = ...
得到 f(x) = ln(x-3)/(x-4) ; if x is on (3,5] and x≠4
= 0 ; if x=4
: : π/2 tanx
: : 4. For ∫ ----------- dx
: : π/3 (lncosx)^2
: (a)show that its an improper integral;
: (b)evaluate or show that its diverges.
: 這題我不會>.<
cosπ/2 = 0
f(x) 在 π/2 時不連續
t 2
所以要寫成 lim ∫ [tanx/(lncosx) ] dx
t→π/2- π/3
去算這個積分
: : 2 2
: : 6. 找出曲面 z + xy - 2x - y = 1 上所有切點，且其切面要與 z=2平行.
: 以下是他的解法跟答案
: 我想請教一下是對的嗎?
: : 因為曲面梯度▽f(x,y,z)= <y-2, x-2y, 2z> 要和 z=2 平行,其法向量(0,0,1)
: : Ans: 參數式 x=4, y=2 z=t, t(-R
算出來後還要看交在哪吧
把(4,2,t)代入原曲面~可得到兩個點
: : 2 2 2 2
: : 7. f(x,y)= 6x -8x + 2y -5 在區域 x + y ≦1 的極值?
: 請問一下是像下面說的這樣解嗎?
: 但為何要分開討論呀?
: : 將區域內 x^2 + y^2 < 1 和 x^2 + y^2=1 分別討論
: : ^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^
: : 無限制叢集求極值 有限制條件求極值(Lagrange乘數法)
: : Ans: 有極小值-23/3 Ans: 有極小值-7 極大值9
: : 臨界點(2/3, 0) 臨界點(1,0), (-1,0)
其實你用無限制條件下求極值所得到的就是整個函數的相對極值
不只是在x^2 + y^2 < 1而已~所以求出的點還要檢查是不是在x^2 + y^2 < 1裡面
但還要考慮限制的邊界x^2 + y^2=1 ~ 才要用Langrange去解
: : cos[(x-y)/2]
: : 9. 求∫∫-------------- dA 之值... 這是典型的線性變換重積..
: : R 3x + y
: : 積分區域 y=x, y=x-π, y=-3x+3, y=-3x+6
: : 6 π cos(u/2)
: : 令 u=x-y, v=3x+y 計算出 |J|= 1/4 變為 (1/4)*∫∫ --------- dudv
: : ^^^^^^^^ 3 0 v
: : ^^^^^^^^ Ans: (1/2)ln2
: ^^^^^^^^
: ^^^^^^^^
: 令u,v的部分我還看得懂,比較想問這個是什麼呀?
: 怎麼算出來的? 而且為何要乘在積分式的前面呀?
變數變換後就會有個因子出來做調整
比較簡單的例子
u=2x → du=2dx 所以du≠dx 會多出個2來做調整
兩個變數的也是
這裡的 J= ▕ dx/du dx/dv ▕
▕ dy/du dy/dv ▕
裡面應該用偏微分符號~但很遺憾的我找不到
這是取行列式值的意思
∫∫ f(x,y)dydx = ∫∫ f( x(u,v) , y(u,v) ) |J| dvdu
A B
|J|是取絕對值的意思
A跟B就是積分範圍~符號不嚴謹不好意思~
所以整理一下得
x= (u+v)/4
y= (-3u+v)/4
J= ▕ 1/4 1/4▕ = 1/16 -(-3/16) = 1/4
▕ -3/4 1/4▕
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