作者Honor1984 (希望願望成真)
看板trans_math
標題Re: [考古]96成大
時間Sat Jul 12 19:52:24 2008
※ 引述《goshfju (Cola)》之銘言：
: ※ 引述《dodo1654 (secret)》之銘言：
: : 我想問一下上述C值答案對嗎?
: : 還有要怎麼求 C 呢?
: 你可以把它微分後得到0 所以就是常數囉
: 至於常數值~就代點進去就好囉~
: 我想這三個點代進去都是 -π/4 吧~沒有那麼多答案喔
: 或令α=arctan[(x+1)/(x-1)] , β=arctan(x-1)
^^^^^
why?
: 利用tan(α+β)= (tanα+tanβ)/(1+tanαtanβ)常數值就出來囉~
^^^^
-才對
如果要用這個方法
必須非常謹慎
tanα+tanβ
tan(α+β) = ------------ = tan C -----------(1)
1-tanαtanβ
還必須考量到arctan的值域當初只包含-π/2到π/2而已
所以就算得到 -1 = tanC
也不能毫不考慮就直接答C = -π/4(這只是一個答案)
剛好藉這個機會當作一個教學範例
現在的問題又變成
我們怎麼知道不會有無窮多個解?
但是我們可以從 -π <= arctan(x) + arctan(y) <= π
所以C有兩個
一個是-π/4
另一個是3π/4
但只有這樣是不夠的
如果原po有完整照抄題目的話
那就是出題者沒有出好題目
-1 x+1 -1
tan (-----) + tan x = C (constant)
x-1
如果沒有限制x的範圍
是不可能存在像等式左邊這樣形式的常數函數
所以要是我改考卷的
寫C不存我算他滿分
寫-π/4及3π/4沒交代範圍的頂多給半對而已
現在來講一下個別的區間
x + 1 x^2 + 1
-------- + x ---------
x - 1 x - 1
------------- = -------------- = -1 (x=/=1)
x + 1 - 1 -x^2
1 - --------x --------
x - 1 x - 1
看不出來x屬於哪個區間的(不可用分子分母孰正孰負來判斷第幾象限)
這也是用三角函數合角展開產生的問題
因為你用合角展開得到的只是tanC的數值而已
這是arctan本身定義的侷限
正確來說
-1 x+1 -1 1. 3π/4 , for x > 1
tan (-----) + tan x =
x-1 2. -π/4 , for x < 1
-1 x+1 -1 1. 3π/4 , for x -> 1+
lim[tan (-----) + tan x] =
x-1 2. -π/4 , for x -> 1-
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◆ From: 122.124.99.252
→ xSAUCEx:我寫出來的答案跟H大差不多122.123.109.196 07/12 20:58
→ Honor1984:^^ 122.124.99.252 07/12 22:19
推 dodo1654:感謝H大的幫忙 124.8.136.126 07/12 23:30
→ goshfju:嗯~我想是對arctan的定義的問題 59.117.74.156 07/13 01:38
→ goshfju:上面的減號~是我的錯 筆誤>"< 59.117.74.156 07/13 01:39
→ goshfju:你的思路很謹慎~ 這樣可以全拿 59.117.74.156 07/13 01:42
→ goshfju:我早上沒想那麼多 ~哈 59.117.74.156 07/13 01:43
→ Honor1984:沒關係 我累的時候也容易計算出錯 122.124.99.252 07/13 01:47
→ LeoRen:辛苦你了!我跟你一樣也是來幫學弟妹解題的~ 118.161.147.50 07/14 23:19
→ LeoRen:因目前在帶大一甄試生~所以有空才會上來 XD 118.161.147.50 07/14 23:21
→ Honor1984:你也辛苦了^^ 轉學考快結束了.....122.124.103.119 07/15 00:30