Re: [單變] 證反函數存在

[Eliphalet (冇提就等於唔存在啦)]

※ 引述《woeichern (小暐                   )》之銘言：
: 已知 f(x)= x^3 + x + 1 , 試證f(x)具有反含數 .
: 懇請高手不吝指教！
: 感謝！

→ woeichern:如果用非微積分方式該如何證明呢？       140.119.107.47 07/18 13:25
→ bulletproof:原po你是說不用微導去證明嗎?          218.169.66.246 07/18 13:26
→ zptdaniel:就想辦法把反函數求出來                 123.194.96.150 07/18 13:27
→ zptdaniel:不過應該是求的你死去回來               123.194.96.150 07/18 13:27
→ zptdaniel:因為反函數存在不代表一定可以用我們     123.194.96.150 07/18 13:27
→ zptdaniel:所熟悉的式子寫出來                     123.194.96.150 07/18 13:28


不用微積分一樣可以做這個問題 , 也不需要求出反函數


(i)

  f 是 one-to-one


 f(x) = f(y)  =>  x^3 + x + 1 = y^3 + y + 1 =>  (x^3 - y^3) + (x-y) = 0

 => (x-y) * (x^2 + xy + y^2 + 1) = 0

 因為 x^2 + y^2 ≧ |xy| , 所以 x^2 + xy + y^2 + 1 > 0

 => x = y

 所以 f 是一個 injection


(ii)

   f 是 onto

 y 屬於 R , 考慮 x^3 + x + (1-y) = 0

 => 必存在一實數根 x0

 => f(x0) = y

 所以 f 是一個 surjection


 因此 , f 是一個 bijection , 故 f 的反函數存在


 有錯請指教!












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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 122.127.100.33
推 Honor1984:x^2 + y^2 ≧ |xy|有等號??
→ Honor1984:從定義推導的證明 還蠻有趣的
→ Honor1984:5>=3也可以  當我沒說
推 bulletproof:樓上XD 原來可以這樣證 受益良多
→ bulletproof:但是第二點必存在一實根是如何看出來
推 Honor1984:實數範圍  三次方程式至少有一實根阿
→ Honor1984:實係數
推 bulletproof:不好意思 我忘了這怎麼來的 可否提點
→ bulletproof:三次方程必有實根  用堪根定理嗎?
推 Honor1984:也可以 你看x->00和x->-00 三次方的函數
→ Honor1984:數分別是+00 -00 所以根據堪根定理 必有
→ Honor1984:一實根 另外高中數學講到實係數方程虛根
→ Honor1984:成對 你可以試著寫成積的形式來理解
→ Honor1984:這中間有代數基本定理的應用
推 zptdaniel:高中數學都忘光了..樓上是高手啊!!
推 bulletproof:了解 想再請問積的形式是因式分解?
→ Honor1984:嗯
→ bulletproof:懂了 謝謝
→ Honor1984:不會
→ muxiv       : 成對 你可以試著寫成積 https://muxiv.com