Re: [微分] Real Root(s)

[Eliphalet (冇提就等於唔存在啦)]

※ 引述《Eliphalet (冇提就等於唔存在啦)》之銘言：
: ※ 引述《Qmmm (Q蛆蛆)》之銘言：
: :                                          4
: : How many real root(s) does the equation x + 4x+ 1= 0 have ?
: : (1) at least 1 ;
: : (2) at least 2 ;
: : (3) at least 3 ;
: : (4) at least 4 ;
: : 請問這題該怎麼算呢？謝謝
:  令 f(x) = x^4 + 4x + 1 , x 屬於 R
:     f'(x) = 4x^3 + 4 = 4 * ( 1 + x^3 )
:  =>  f'(x) > 0 , if x > -1
:      f'(x) < 0 , if x < -1
:  f(-2) = 9 > 0 , f(-1) = -2 < 0 , f(0) = 1 > 0
:  =>  有兩實根 α,β , -2 < α < -1 , -1 < β < 0
:   有錯請指教


推 stillboy:這種題目通常都要證存在性與唯一性         114.44.228.87 09/13 19:53
→ stillboy:你只證出存在性,還差唯一性                114.44.228.87 09/13 19:53
→ stillboy:唯一性要用roll's thm才證                 114.44.228.87 09/13 19:54
→ stillboy:可以參考我寫的5158那篇 :)                114.44.228.87 09/13 19:54


 我想唯一性是有的 並不需要使用到 Rolle's theorem

 以下是我的推論 , 有錯的話 , 煩請指正


 由上面得到 , f 在 ( -2 , -1 ) 是 strictly decreasing ,

 => f 在 (-2,-1) 上是一 one-to-one mapping

 又 f 在 [-2,-1] 是連續函數 , f(-2) * f(-1) = -18 < 0

 =>  f has exactly one zero in ( -2 , -1 )

 同理 ,  f 在 ( -1 , 0 ) 亦只有一根


 再者 , 當 x < -2 , f(x) > f(-2) = 9 > 0

        當 x > 0 , f(x) > f(0) = 1 > 0


 所以 , f 只有兩實根













--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 122.127.102.192
推 Qmmm:謝謝!