Re: [考古] 中山95應數

[PaulErdos (Paul)]

※ 引述《JULIKEBEN (JU)》之銘言：
: let p,q 屬於 R and let f(x) : R→R be a function
: assume that f(x) is continuous at 0 and assume that
:          sin(5x)
:         ---------                              ,when x > 0
:            x
: f(x) = {                                                       }
:              -1
:         p(tan  x) + q √((x^2)+x+1)-2x+2
:        -----------------------------------     , when x < 0
:                        x
: evaluate the values p and q
: 我想問關於X<0的部分
:              -1
:         p(tan  x) +√((x^2)+x+1)-2x+2
: lim    ----------------------------------  = 5
:     -                 x
: x→0
:    -1
: (tan x)的部分要怎樣處理
: 請高手指教
: 謝謝


Taylor展開
                                                    3     5
  -1          dx               2   4               x     x
tan x ＝ ∫———— ＝ ∫ (1－x ＋x －… )dx = x－ — ＋ — － …
           1 ＋ x^2                                3     5


＝ x ＋ o(x)


                                      2     3
  ＿＿       1/2 二項展開      t     t     t
√1＋t＝(1＋t)      ＝    1 ＋ — － － ＋ — － …
                               2     8     16
           2
代入 t ＝ x ＋ x  便有
                               2
  ＿＿＿＿＿           x     3x
√1＋x＋x^2   ＝  1 ＋ — ＋ － －  …
                       2     8

        x
＝ 1 ＋ — ＋ o(x)
        2

lim  f(x) ＝  5
    +
x→0


f(x) 在0連續故

lim  f(x) ＝  5
    -
x→0



            -1      ＿＿＿＿＿
       p tan x ＋ q√x^2＋x＋1 － 2x ＋ 2
 lim  ———————————————————  ＝ 5
     -                 x
 x→0



    p (x＋o(x) ) ＋ q (1＋x/2＋o(x)) － 2x ＋ 2
lim —————————————————————  ＝ 5
    -                   x
x→0



分子極限需為零  故 q＝ -2

整個極限等於5   故分子x一次項係數需為5

          q
得  p ＋ — － 2 ＝  5
          2


故 p＝8



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◆ From: 140.112.4.96
※ 編輯: PaulErdos       來自: 140.112.4.96         (10/10 20:33)
※ 編輯: PaulErdos       來自: 140.112.4.96         (10/10 20:39)
推 zptdaniel:這個解法應該是有疑問的.
→ zptdaniel:因為等價的替換似乎只能用再乘跟除的情
→ zptdaniel:況.
→ zptdaniel:不過用到little-o的概念,想必您應當是
→ zptdaniel:數學系的學生或修過高微
推 SDUM:Talor series，大一微積分就有了(¯(∞)¯)
→ zptdaniel:大一微積分有教到泰勒級數沒錯
→ zptdaniel:不過到底有沒有教到littler-o就不清楚了
→ JULIKEBEN:little-o的部分是 x+o(x)嗎??
→ PaulErdos:二樓...   是這樣嗎??
推 zptdaniel:不是這樣嗎?^^
→ PaulErdos:不是
推 zptdaniel:我對等價代換的原由不是非常理解
→ zptdaniel:就我師傅教導是不行,但我不知其所以然.
→ zptdaniel:能否請您解說可以在"乘除"以外的情形為
→ zptdaniel:什麼可以使用等價代換的理由嗎?感激不盡
→ PaulErdos:你知道什麼叫Taylor展開嗎?
推 zptdaniel:我知道
→ Qmmm:應該這麼解吧 這題又不能羅必達 不然另外什麼
→ Qmmm:方法 讓分子湊出x跟分母約掉?
推 SDUM:可以L'Hospital 呀，等學好 反函數的微分吧！
推 zptdaniel:當然也是有別的解法的.我的寫法似乎就沒
→ zptdaniel:用到羅畢達
→ zptdaniel:只要善用極限的四則運算即可
推 zptdaniel:阿..當中還是有用到羅畢達的樣子@@
推 stillboy:zptdaniel它這樣可以,因為它不適用等價原
→ stillboy:理
→ muxiv       : 不是 http://yofuk.com