Re: [連續]

[zptdaniel ()]

Because f(c)=1/2 and f(x)= sinx/x

so that we can rewrite f(c)=1/2 as following equation:

2sinC = C

Now we can define a new function g:(0,pi] --> R:

g(x)=2sinx - x

We can say g(x) is continue on (0,pi]

g(pi/2)= 2 sin(pi/2) - pi/2 = 2 - pi/2 > 0

g(pi)=2sin(pi) - pi = 2*0 -pi = -pi<0

so g(pi/2)g(pi) <0---[*]

from [*] and I.V.T.

There exists a value cε(0,pi] such that g(c)= 0

and we know g(c)= 2sinC-C = 0

that is, sinC/C = 1/2




※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
: 題目:
:         sinx                                                1
: 設f(x)= ---- , x ε (0,π] 試證存在一數c ε(0,π)使得f(c)= ---
:          x                                                  2
: =============================================================================
: 我想問這題中間值定理不是要在閉區間連續嗎?
: 可是這題在(0,π] 連續
: 所以有沒有違反定理??怎麼說呢?
: 如果沒有可不可以用我的解法
: 令F(x) = sinx/x - 1/2
: 則 F(0) = lim x->0  sinx/x   - 1/2 = 1/2 >0
:   {
:    F(π)= sinπ/π - 1/2 = -1/2 <0
: 由中間值定理知
: F(0)F(π)<0
: 存在一數c ε(0,π)
: 使得 F(c)=0 => sinc/c - 1/2  即 f(c) = 1/2
: 因為王氏微積分說不能這樣解...
: 謝謝!

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 123.194.97.168
推 Qmmm:謝謝！ 請問我的解法可不可以呢？
→ zptdaniel:我認為是不行,畢竟sinx/x在0這點無定義
→ zptdaniel:但你寫的是F(0)=limF(x) as x->0
→ zptdaniel:只有連續函數才可以這樣寫
推 TaiwanFlight:那可以改個寫法,
→ Qmmm:嗯嗯 我也想說是連續 所以極限存在~
→ TaiwanFlight:F(x) = sinx/x - 1/2 and
→ TaiwanFlight:F(x) = lim[sinx/x - 1/2],when x=0
→ Qmmm:所以題目根本不用在特別定義f(x)在x=0這個點
→ TaiwanFlight:      x->0
→ zptdaniel:TaiwanFlight兄,您要不要另開一篇文
→ TaiwanFlight:這樣F在0點就連續了
→ zptdaniel:我們可以在那篇文討論?
→ zptdaniel:而且,既然今天題目已經限制domain了
→ zptdaniel:我們是不能把domain擴張的吧
→ zptdaniel:除了利用函數進行合理的擴大domain的範
→ TaiwanFlight:因為本題的c不會發生在端點,
→ zptdaniel:圍?
→ TaiwanFlight:所以是沒關西的
→ Qmmm:你們兩個都說的很有道理耶 :PP
→ muxiv       : 而且,既然今天題目已經 https://noxiv.com