Re: [極限] 王博微積分

[PaulErdos (My brain is open)]

※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
:                            x-1
: 1. 若x≠0, x≠1且f(x) + f(-----) = 2x ,求f(x)=?
:                             x

             1
f(x)＋f( 1－─ ) ＝ 2x                (1)
             x

       1
用 1－─ 代回原x
       x

       1        1            1
f( 1－─ )＋f(──)＝ 2( 1－─ )      (2)
       x      1－x           x

      1
再用── 代
    1－x

   1            2
f(──)＋f(x)＝──                   (3)
  1－x         1－x



(1)＋(3) , 同時以(2)代入 , 得

              1           2
2f(x)＋2( 1－─ ) ＝ 2x＋──
              x          1－x



:                                               x
: 2. 若f (x) = f(f‧‧‧f(x)‧‧‧) 且f(x)= --------- ,求 f (x) = ?
:       n     ╰════┬════╯        √(1+x^2)      n
:                         n次

 2        x^2
f (x)＝────
        1＋x^2

                        x^2
           2          ───
 2        f (x)       1＋x^2        x^2
f (x)＝───── ＝─────＝ ────
 2           2            x^2     1＋2x^2
        1 ＋f (x)    1＋───
                        1＋x^2

    2          x^2
if f (x) ＝ ────
    k        1＋kx^2



           2              x^2
          f (x)         ───
 2         k            1＋kx^2          x^2
f (x) ＝───── ＝ ──────＝──────
k+1          2             x^2      1＋(k＋1)x^2
         1＋f (x)     1＋───
             k           1＋kx^2



                    x
hence f (x) ＝ ──────
       n          ＿＿＿＿
                √1＋nx^2




:                 x     x     x                 x
: 3.  lim   ( cos---cos---cos---‧‧‧‧‧‧cos---- ) = ?
:     n→∞       2     4     8                 2^n
: 謝謝!!


            x     x
sinx＝2 sin---cos---
            2     2

       2    x     x     x
    ＝2 sin---cos---cos---
            4     4     2

       n    x     x                 x
    ＝2 sin---cos---‧‧‧‧‧‧cos---
           2^n   2^n                2



        x     x     x                 x             sinx
 limcos---cos---cos---‧‧‧‧‧‧cos---- ＝ lim  ────
n→∞   2     4     8                 2^n   n→∞  n    x
                                                  2 sin---
                                                       2^n

      1
令y＝---
     2^n


        yx    sinx    sinx
lim  ──── ── ＝ ──
y→0  sinyx     x      x




--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.243.42
→ Qmmm:謝謝!!沒想到這麼技巧~
推 kingalan:了解
推 SDUM:第3式，後面 少乘2
                     已更正
推 shadowlin:可以請問一下最後面兩行嗎?
→ shadowlin:是如何想到的,不好意思我是大一,不太懂
→ Honor1984:就是sinu /u -> 1 as u->0 如果x有限
→ shadowlin:謝謝!!
※ 編輯: PaulErdos       來自: 140.112.243.42       (10/19 19:41)