推 Qmmm:謝謝!! 119.14.157.130 10/22 22:17
※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
: 1 (n) P_n (x)
: 若f(x) = ------------ k為實數 , 且 f (x) = -----------------
: (x^k) - 1 [(x^k)-1]^(n+1)
: 求P_n (1) = ?
k
－ k x k
f'(x)＝───── , P (x) ＝－ k x
(x^k-1)^2 1
k n k
(n+1) 1 (n+1)k(x -1) x
f (x) ＝ P'(x) ─────── － ──────── P (x)
n (x^k-1)^(n+1) (x^k-1)^(2n+2) n
k
(x^k-1)P_n'(x) － (n+1)kx P_n(x)
＝ ────────────────
(x^k-1)^(n+2)
k k
hence P (x) ＝ (x －1) P '(x) － nkx P (x)
n n-1 n-1
(偷偷把n+1改回n)
而 P (1) ＝ 0 － n k P (1)
n n-1
2
＝ n(n-1)k P (1)
n-2
n-1 n-1
＝ n(n-1)…2 k P (1) (-1)
1
n n
＝ n! k (-1)
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◆ From: 140.112.243.42
※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.243.42 (10/22 22:06)
※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.243.42 (10/22 22:10)