Re: [微分] 有關極限唯一性的證明

[TaiwanFlight (飛翔吧 ,台灣!!)]

※ 引述《xylona (紅)》之銘言：
:         要證明極限的唯一性，
:         我問到了一個答案，本來想回家之後自己再想一想，
:         卻還是一直沒有辦法明白…（我笨，嗚～）
:         先設 lim x->c f(x)=L1 及 lim x->c f(x)=L2，然後證 L1=L2
:         ε > 0
:         0 < |x-c| < δ1, |f(x)-L1| < ε/2, δ1 > 0
:         0 < |x-c| < δ2, |f(x)-L2| < ε/2, δ2 > 0
:         這裡就不懂了, 為什麼是ε/2而不是ε？除以2是怎麼來的？

此取ε/2只是未了證明的一個技巧,
"正常"應該是這樣  : 0 < |x-c| < δ1, |f(x)-L1| < ε'

故必定有ε(取ε< 2ε') 使得  0 < |x-c| < δ1, |f(x)-L1| < ε/2 < ε'

δ2時亦同


:         令δ = min {δ1 , δ2 }
:         |L1-L2| = |L1-f(x)+f(x)-L2|≦|f(x)-L1|+|f(x)-L2| < ε/2 + ε/2= ε
:         我想了很久，就是想不透為什麼推出↑這一行就能有以下的結論了…
:         在網上有看到可用三角不等式推，但是我不知道怎麼推。囧

d(x,y) ≦ d(x,z) + d(z,y)  [d表距離]

|L1-L2| ≦ |L1-f(x)| +|f(x)-L2| < ε/2 + ε/2= ε

這是基本的三角不等式的形式

:         L1-L2 = 0
:         L1 = L2
:         會是因為δ已是最小值，所以兩個ε/2可以在|L1-L2|時相減所以才等於0嗎？

因為 for each ε> 0

|L1-L2| ≦ε iff  L1 = L2      (iff = if and only if)
這是證明 L1 = L2 的一種技巧

不需要證明 x - y = 0才說他們兩個相等, 只需要說

for each ε> 0 , y ≦ x+ε iff x = y


:         可是如果這樣的話好像又怪怪的。
:         希望板上的大大能指導一下，
:         下次微積分的課還要五天以後…很難忍到那時再問orz
:         拜託了！m(_ _)m

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 210.240.176.170
推 xylona:啊!看完您的解釋後 我明白了^^ 非常感謝!!!
→ Eliphalet:for each ε> 0 , y ≦ x+ε iff x = y
→ Eliphalet:這是錯的