→ Qmmm:請問這樣的見解 有人有任何想法嗎？謝謝! 219.70.179.171 11/01 23:37
※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
: .
: .
: .
: x
: x
: f(x)= x 求f'(x)=?
: 謝謝!
[以下為個人見解 有錯請指教]
我是把這個函數f(x) 看成這個數列
x, x^x, x^(x^x), x^(x^(x^x)), x^(x^(x^(x^x))), ...
在項數趨近無限的極限
那麼首先先看它的定義域及顯表達式:
顯然x必須為正
然後使得這個數列收斂的x 必滿足 x^f(x) = f(x)
取ln 整理後得
ln f(x)
ln x = -------
f(x)
ln f(x) 1/f(x)
x = exp (-------) = f(x)
f(x)
由此可知 f(x)為 g(x) = x^(1/x) 的一個反函數
但是對g(x)的分析發現 g(x)在x=e的地方有個最高點(也僅有這一個極值)
因此我們必須只取(0,e]或[e,∞)做反函數
至於是哪一個呢? 顯而易見的 f(1) = 1
因此我們必須取(0,e]的部份做反函數
故我們得到了f(x)的表達式:
-1
f(x) = G (x), 其中G(x) = g(x) = x^(1/x), 只是定義域為(0,e]
也就是說 f(x)的定義域是(0,e^(1/e)]
於是接下來就來做它的微分:
-1 1
f'(x) = D G (x) = ---------- (by chain rule)
-1
G'(G (x))
= ....(做不下去了)
然後請出Mathematica來做的結果
得到了一個怪怪函數ProductLog....@@|
看來初等函數似乎是不能表達這題的答案了嗎@@？
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※ 編輯: Qmmm 來自: 140.112.128.93 (11/01 21:03)