Re: [微分]

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
: 設f在[0,1]連續,在(0,1)可微,且滿足以下二條件
: 一、 |f'(x)| < 1
: 二、 f(0) = f(1)
:                        1
: 證明 |f(x_1)-f(x_2)|< --- for all x_1 ,x_2 in [0,1]
:                        2


設存在a,b in [0,1]使得

|f(b)-f(a)| >= 1/2

不失一般性下設b > a

存在c介於b,a之間使得 |f'(c)| >= 1/(2|b-a|)

=> 1 > 1/(2|b-a|)

=> |b-a| > 1/2

設d介於b,1之間  e介於0,a之間

|f(b)-f(a)| <= |f(b)-f(1)| + |f(1)-f(0)| + |f(0)-f(a)|

            <= |f'(c)|(1-b) + |f'(e)|a

            <= 1 - b + a  < 1/2

矛盾
                      1
所以|f(x_1)-f(x_2)|< --- for all x_1 ,x_2 in [0,1]
                      2

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.124.98.220
※ 編輯: Honor1984       來自: 122.124.98.220       (11/15 19:23)
→ Qmmm:謝謝