推 Qmmm:感謝PaulErdos高手!! 219.70.179.171 11/18 22:01
※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
: ~東大考題~
: 2x-1 1
: 若f在實數系上為一可微分函數且 f(x)= --------- - ----- for x≠1
: sin(x-1) x-1
: 求 (a) f(1)=? (b) f'(1)=?
: [想法]這題我是有解出來不過真的是慢慢微.慢慢...慢.算到最後很煩..
: 如果出這題肯定要花掉30mins↑ 尤其我微分還不是挺熟可能還要花更久時間...
: 所以不知道板上高手有沒有其他方法可以比較快求得答案？謝謝
(a)
x－1＝u
2x－1 1 2u＋1 1
f(x)＝ ───── － ── ＝ ─── － ─ ＝ g(u)
sin(x－1) x－1 sinu u
2
2u＋1 1 2u ＋ u －sinu
lim ─── － ─ ＝ lim ────────
u→0 sinu u u→0 usinu
2
2u ＋ u － u ＋ u^3/3! － …
＝ lim ────────────── ＝ 2 ＝ g(0)＝ f(1)
u→0 2 u^4
u － ─ ＋ …
3!
(b) 2
2h ＋ h －sinh
──────── － 2 2
hsinh 2h ＋ h －(1＋2h)sinh
f'(1)＝g'(0)＝lim ─────────── ＝lim ───────────
h→0 h h→0 2
h sinh
3
2 2 h
2h ＋ h － ( h ＋2h － ─ － … )
3!
＝lim ────────────────────
h→0 3 h^5
h － ─ ＋…
3!
1
＝ ─
6
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