Re: [微分]

[KTR5566 (KTR)]

※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
:                   a
: 利用均值定理證明 x  ≦ ax + (1-a) ,其中 0<a<1 , x>0

移項整理 處理三種情形

x^a - 1
-------- < a  ,(x>1)
x   - 1

--

x^a - 1
-------- > a  ,(x<1) , 因為(x-1)<0
x   - 1

--

x=1 , 等號成立

--


1. 當x>1

令 f(t) = t^a ,  1≦t≦x , 則根據MVT，存在c屬於(1,x) 使得

x^a - 1
-------- = f'(c) = a×c^(a-1)
x   - 1

因為a<1,

(a-1)<0,

以及c>1,

所以c^(a-1)<1

→　a×c^(a-1) < a

x^a - 1
-------- = a×c^(a-1) < a
x   - 1


2. 當x=1 , 等號成立

3. 當0<x<1

令 f(t) = t^a ,  x≦t≦1 , 則根據MVT，存在c屬於(x,1) 使得

1 - x^a
-------- = f'(c) = a×c^(a-1)
1 - x


c<1

(a-1)<0

c^(a-1)>1

→

x^a - 1
-------- = a×c^(a-1) > a
x   - 1



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寫的不是很仔細

不過用MVT的意思大概是這樣吧?= =



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 125.229.170.142
→ Qmmm:謝謝!