Re: [微分]

[JULIKEBEN (JU)]

 令 f(x) = (x^3) + (x^2) + x - a

f'(x) = 3(x^2)+(2x)+1 > 0
所以f(x)單調遞增  故只有一解

[採用反證法]
假設f(x)有2根以上
令任取兩根a b     c<a<b<d
其中由勘跟定理知f(c)f(d)<0
至少有一實根 現假設有兩根以上
f(x)具連續可微
且f(a)=0 f(b)=0
由Rolle'stheorem(MVT特例)

若滿足Rolle's theorem
則至少有一個x=e  f'(e)=0  a<e<b
結果發現f'(x)=3(x^2)+2(x)+1>0 不等於0
故與Rolle's theorem的結果相矛盾
即先前假設錯誤
僅有一解才是正確

因此得證
f(x)至少有一解且僅有一解


不知道這樣証可不可以



※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
: ※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之銘言：
: :                     3    2
: : 利用中間值定理證明 x  + x  + x = a 至少有一實根 , 其中a為實數。
:           3    2
: 令f(x) = x  + x  + x - a
: ∵f(∞) = ∞ > 0 , f(-∞) = -∞ < 0
: 由中間值定理知
: 在(-∞,∞)內存在c
: 使得f(c) = 0至少有一實根
: I am right？

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.216.115.210
→ Qmmm:題目說要用I.V.T.
→ JULIKEBEN:我一直誤看成MVT囧
推 zptdaniel:這樣寫似乎不行,因為你假設至少有兩根
→ zptdaniel:不對,是兩根以上.跟題目給的至少有一根
→ zptdaniel:並沒有相違背吧?就像是你的假設跟題目給
→ zptdaniel:似乎可以算是同義
→ JULIKEBEN:可是我有先用單調性說至多一根  再採反
→ JULIKEBEN:證  這樣也不行嗎@@?