[積分] 求體積問題!

[anout00110 (anout00110)]

題目：兩"球體"半徑皆為r，且其球心分別位於 (0,0) 、 (0,r)，

      求限制於兩球體之體積。
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有兩種算法，第一種是用"圓盤法"，求出2/r到r的面積再繞x軸旋轉，並*2就ok

這我會，正解為" 5π(r^3)/12 "。  但是當我想嘗試用第二種算法"剝殼法"來計算時卻

出問題，請問我哪一行的步驟錯了? (我算了好多便都找不到...於是決定求助...)

                                 1/2
    前言：我也是先積上半圓( y=(r^2-x^2)   ) 從2/r積到r後繞x=2/r 旋轉再*2。

          以下算式


                 r               1/2
第 1 行   2*2π∫ (x-r/2)(r^2-x^2) dx
                 r/2

                r          1/2     r           1/2
   2     4π{ ∫  x(r^2-x^2) dx -∫ r/2(r^2-x^2) dx }
                r/2                r/2

         令  x=rsinθ dx=rcosθdθ

                r            2        r         2
   3     4π{ ∫ r^3(sinθcosθ)dθ-∫ (r^3)/2(cosθ)dθ }
                r/2                   r/2

                 r       2                  r
   4     4π{ -∫ r^3(cosθ)dcosθ-(r^3)/2∫ ((1+cos2θ)/2)dθ}
                r/2                        r/2

                       3
   5     4π{-((r^3)cosθ)/3-((r^3)θ)/4-((r^3)sin2θ))/8}

                  -1
           又  sin(x/r)=θ   cosθ=(r^2-x^2) /r  sinθ=x/r

                     3/2             -1                      1/2     r
   6    4π{ -(r^2-x^2)/3 - ( (r^3)sin(x/r) )/4 - ( rx(r^2-x^2) )/4 }
                                                                     r/2

       接下來問題來了...將r/2帶入會有根號3出現...而且消不掉

                  但正解是"5π(r^3)/12"沒有根號3阿.....

          各位板友救命....打這些打好久..想趕快知道原因(跪)..


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→ anout00110:自推...沒人理我挨