※ 引述《Hseuler (藍色貍貓)》之銘言：
: ※ 引述《Qmmm (QM量子力學MM分子力學)》之銘言：
: : 請問
: : l i m sinx
: : ------ = 1 除了畫圖證明外 可以用展開式嗎？謝謝
: : x-> 0 x
: 費爾茲獎得主小平邦彥在他的初等微積分著作
: 不是用畫圖的方法證明
: 原因是他用嚴格的旋轉概念定義三角函數
: 我把整段抄下來
: 先引進一個引理
: 假設數列{An},
: An>0是收斂於0的單調遞減數列，則交錯級數
: A1-A2+A3-A4+A5..........
: 收斂.如果其和設為S,部分和設為
: S(n)=A1-A2+A3-A4+.....+(-1)^(n+1)An
: 則S(2n-1)>S>S(2n)
: 有了這個引理後
: sinh/h=1-h^2/3!+h^4/5!-h^6/7!+...
: 當
: 0<|h|<1時
: 此式右邊的交錯級數的各項絕對值構成的數列
: {h^2n/(2n+1)!}單調遞減且收斂於0
: 由引理得到
: 1-h^2/6 < sinh/h < 1 ,0<|h|<1
: 故 lim sinh/h=1
: h->0
: Q.E.D.
這是很好、很精闢的一種想法。
我想問一個很現實的問題：這在考試當中有多少人(老師)會承認這樣的証法是OK的？
我想到以前修高微，我這樣証大概根本就在找死.....
在考試的時候老師根本不知道你會不會証那個引理，
然後，sinh/h=1-h^2/3!+h^4/5!-h^6/7!+... 請問這是背馬克勞林來的嗎？
如果是的話，嗯....前面有位大大說過，微分都還沒証，那.... 循環證明？
絕對收斂那邊還可以寫個證明出來......
用那麼多雖然正確但需要證明的式子在考試上....妥當嗎？是不是有點本末倒置。
畫個圖，簡單易懂才是比較恰當吧。
(迷之語：其實我覺得要用展開式算出答案，不只一種方法，函數具有組合性質，
看你拿什麼當定義，什麼當引理而已。)
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