→ JULIKEBEN:請問第一式跟第二式是級數展開嗎 118.169.96.171 01/03 00:42
→ JULIKEBEN:另外想問第二個箭頭部分是怎麼來的 118.169.96.171 01/03 00:43
※ 引述《JULIKEBEN (啾西)》之銘言：
: n+1 n
: nx -(n+1)x +1
: lim ---------------------
: x→1 2
: (x-1)
: 題目規定禁用羅必達
: [採用羅必達超快的說]
看樣子 n 是正整數
方便起見 , 令 h = x-1 , 則
n*(n+1)
n*(x^(n+1)) = n*((h+1)^(n+1)) = n*[1+(n+1)*h+ --------*h^2+...+h^(n+1)]
2
n*(n-1)
(n+1)*x^n = (n+1)*[1+n*h+ -------*h^2+...+h^n]
2
n*(x^(n+1)) - (n+1)*x^n + 1 n*((h+1)^(n+1)) - (n+1)*((h+1)^n)
=> ------------------------------- = -----------------------------------
(x-1)^2 h^2
n^2 * (n+1) n * (n-1) * (n+1) n * (n+1)
-> ------------- - ------------------- = -----------------
2 2 2
as h -> 0 .
: 我用約分消去去算
: 不過有個疑問
: 我的想法是
: 我先在分子 +n -n
: 整理配對後
: n n-1
: n(x +....+x+1) - (n+1)(1+x+....+x )
: = lim -----------------------------------------
: x→1 (x-1)
: 此時需再約去一次x-1
: 我把分子部分乘開
: 分子得
: n n-1 n-2
: nx - x - x -...... -x-1
: 所以採用除法去除
: 發現有規律
: 然後帶回原極限式
: n-1 n-2
: (x-1)(nx +(n-1)x +.....+1 )
: = lim ----------------------------------
: x→1 (x-1)
: =[(n+1)n]/2
: 我想問的是
: 第二次約掉的部分
: 採用直接除去找因式
: 採用規律自己導出
: 會不會太冒險?
: 或者不用羅必達還有別種方法算嗎
: 請高手指教
: 謝謝
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