Re: [微分] 羅必達法則

[arbitrager (自由之身)]

※ 引述《Arcarco ()》之銘言：
:          (1+x)^(1/x) - e
:    lim -------------------
:    x->0         x
:    求極限，答案是 (-1/2)e
:    謝謝


羅比達應該也可以 是不是微三次 我等等試看看

<果然是微分三次XD>

我直覺想到的方法是:

你定義一個新的分段定義函數: 令F(x) = (1+x)^(1/x) , 當x不等於 0

                              F(x) =      e      , 當x  等於 0

如此定義 你也可以證出 F(x) 在 x=0處連續  [ lim  F(x) = F(0) ]
                                          x-->0

原極限 =  lim   F(x) - F(0)
         x-->0  -----------   = F'(0)  (微分的最初定義)
                   x - 0

所以微一次就可以了 (結果還是要用羅比達XD)

F(x) = (1+x)^(1/x)

令y = F(x) = (1+x)/(1/x)

則lny =  (1/x) ln (1+x) - (*)

(*) 兩邊對x微分 得到

1/y dy/dx = (1/x)(1/1+x) + ln(1+x)(-1/x^2)

dy/dx = (1+x)^(1/x) [ (1/x)(1/1+x) -(1/x^2)ln(1+x)]

                                x-(1+x)ln(1+x)
F'(0) = dy/dx|x=0 =  e [ lim   ---------------- ]
                         x-->0    x^2 (1+x)

                  =  -e/2


             x-(1+x)ln(1+x)
其中 lim   ------------------- = -1/2 計算如下
    x-->0      x^2(1+x)

(L'H)       1-[1+ln(1+x)]
  =  lim  --------------------
    x-->0    3x^2 + 2x

(L'H)         -(1/1+x)
  =  lim  ------------------
    x-->0    6x + 2

  =      -1/2



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有些事現在不做 一輩子都不會再做了!!

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◆ From: 140.112.7.59
→ matmoki:這題不是考定義 所以這樣做跟直接羅一樣XD
→ Arcarco:謝謝