Re: [考古] 請教兩題微積分

[mathmanliu (煩惱即是菩提)]

※ 引述《ADAH33 (逐漸消失的生命)》之銘言：
:  1. Let f(x) be a cont function on [1,a]
:    1 < = f(x) < = a  for all x 屬於 [1,a]
:    prove that there exists one number k 屬於 (1,a)
:    such that kf(k)=a
:  2. let G(t)=   積分     e^(-x)x^(t-1) dx
:              0到 無窮大
:     (1) show that G(n)=(n-1)! (2) find G(1/2)

Q1: 勘根定理

 設F(x)=xf(x)-a

1. F(x)在[1,a]內 conti.

2. F(1)=f(1)-a <=0  (因 f(x)<=a)

3. F(a)=af(a)-a=a[f(a)-1] >=0 (因 f(x)>=1)

由勘根定理知 F(x)=0 在[a,b]內至少有一根

Q2: Gamma函數

          ∞                     ∞
(1) G(n)=∫ exp(-x)x^(n-1) dx = ∫ x^(n-1)d[-exp(-x)]   (By parts)
          0                      0
                                            ∞
       = -x^(n-1)exp(-x) (代x=0~∞) + (n-1)∫exp(-x)x^(n-1-1) dx
                                            0
       = 0 + (n-1)G(n-1)

                                       π
(2) Gamma function 性質 G(x)G(1-x)= ─────
                                     sin(πx)

    令x= 1/2 => [G(1/2)]^2 = π => G(1/2) = √π

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◆ From: 123.193.32.236
推 power1106:請問各位轉學考微積分會考 有關向量得微
→ power1106:積分嗎?
推 winnie1220:台大幾乎必考 後面變化不多啦 看定義