推 JULIKEBEN:謝謝=) 118.169.98.181 03/18 15:11
→ JULIKEBEN:不知道有沒有人知道中間那項要怎推導@@ 118.169.98.181 03/18 15:11
※ 引述《JULIKEBEN (啾西)》之銘言：
: ∞ sinx ∞ 1-cosx ∞ (sinx)^2
: ∫ --------dx = ∫ ---------- dx = ∫ ------------ dx
: 0 x 0 x^2 0 x^2
: 想請問要怎樣證明這三式相等呢
: 不知道要怎樣導出
: 所以想說分別求出三式答案相同即可
: 第一個可以用虛擬變數求出
: 可是二三我仿造相同做法卻求不出@@
: 請高手解答謝謝~~
∞ sinx
你已經知道∫--------dx = 0.5π
0 x
∞ (sintx)^2
現在引入一變數t,設函數I(t) = ∫ ------------ dx ,等號兩邊對t偏微分得
0 x^2
dI ∞ 2xsintxcostx ∞ sin2tx ∞ sinu
--- = ∫ -------------- dx = ∫ ------------ dx = ∫ ------ du =0.5π
dt 0 x^2 0 x 0 u
所以I(t) = 0.5πt + C ,易知I(0) = 0,所以C = 0 ,推得I(t) = 0.5πt,
∞ sinx ∞ (sinx)^2
所求=I(1)=0.5π,故∫ --------dx =∫ ------------ dx = 0.5pi
0 x 0 x^2
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◆ From: 123.204.106.58