推 GLP:哇~ 這題真的好繁瑣喔 @@ 219.70.176.69 05/31 17:13
※ 引述《GLP (^__________^)》之銘言：
: ※ 引述《kan81314 (凱恩)》之銘言：
: : 求原點和曲面x^3+y^3+z^3-3xyz=2之最短距離
: : 提示:x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
: : 算很久算不出來囧....
: 拉格朗日算的出來嗎?
: 令f=d^2 = x^2+y^2+z^2
: s.t. g=x^3+y^3+z^3-3xyz-2=0
: ▽f=λ▽g
: [ 2x = 3λ(x^2 -yz) (1)
: { 2y = 3λ(y^2 -xz) (2)
: [ 2z = 3λ(z^2 -zy) (3)
^^xy
(1)+(2)+(3) 得 2(x+y+z)=3λ(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
利用提示得 λ=(1/3)(x+y+z)^2
: (1)/(2) 得到xy^2 -zx^2 = xy^2 -zy^2 =>y^2 = x^2 => x=±y
(1)-(2) 得 2(x-y) = 3λ(x+y+z)(x-y)
故 x=y or 2=3λ(x+y+z)
x=y 代回(1) 得 2x=3λx(x-z) 得 x=0 or 2=3λ(x-z)
[1]
x=y=0 代入(3)得 2z=3λz^2.
因 x,y,z 不能全為 0, 得 2=3λz=z^3
故 (x,y,z) = (0,0,2^{1/3})
由對稱性, 另有臨界點 (2^{1/3},0,0), (0,2^{1/3},0).
[2]
x=y 代入 (3) 與 2=3λ(x-z) 聯立解 x,z, 並得 y.
由對稱性, 若 z 不等於 x=y, 則另有二解.
[3]
2=3λ(x+y+z)=(x+y+z)^3 得 x+y+z=2^{1/3}
代入其他方程式求解.
最後把所有解代入目標函數比大小.
: 不知道正不正確..?
: 接下來勒? 不確定是不是只有x=±y這一組
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