Re: [微分] 求極限

[G41271 (茶)]

※ 引述《chemical1223 (聲音很像黃小琥的正妹)》之銘言：
: 在王博細說微積分上看到這題，書上提供兩種解法，我自己算是使用下面這種
: 不過書上卻說這種算法是不正確的(指分段式解法)
: 的確到了後段我羅到死也羅不出來
:         tan x-sin x
:  lim    ──────
: x -> 0       x^3
: 以下是我的解法(書上第二種算法)
: 原式=
: 1.
:          sin x
:         ────  - sin x
:          cos x
:  lim   ───────────
: x -> 0           x^3
: 2.
:                   1
:                ────  - 1
:         sin x   cos x
:  lim   ───  ────────
: x -> 0    x          x^2
: 3.
:         sin x      1-cos x
:  lim   ────  ──────
: x -> 0    x       (x^2)cos x
: 4.

         sinx          2 sin^2(x/2)             1
={ lim  ------} { lim  ---------------} {lim  ------ }
   x→0    x      x→0       x^2         x→0  cosx

={1}{1/2}{1} = 1/2

分斷看來也很容易,不覺得我的算法有錯,請指正.

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◆ From: 112.104.13.134
推 haraluya:中間那個怪怪的，應該不用半角公式吧?
→ haraluya:中間那項就直接用羅畢達就解決了
→ math1209:半角公式是最標準的 =.=
推 chemical1223:書上也是給利用半角公式的算法
→ chemical1223:不過作者說用我那種"分段解法"是錯誤
→ haraluya:是喔，因為感覺用羅畢達比較簡單@@
→ chemical1223:我想問的是為什麼這種分段會錯誤
推 math1209:我不覺得有問題 XD
→ haraluya:我比較想知道分段的錯誤在哪
→ keith291:我覺得你要先證明那3個都極限存在
→ keith291:才可以把一開始的lim分成3個
→ keith291:因為沒證明之前不知道是否存在不可任意拆
→ G41271:後來算出來的確三個都存在呀
→ G41271:喔 我知道你的意思了
推 chemical1223:如果每個分段解法都要先證明每段是否
→ chemical1223:存在，那這樣不是都變得很麻煩嗎@@?
推 math1209:你應該要這樣想:那會讓你問題變得簡單
→ math1209:存在的先提出來，除非發生存在的極限是 0
推 keith291:但這樣才是保證論斷正確的吧  否則有可
→ keith291:能錯
→ math1209:有個想法是這樣的:如果有存在非零的極限
→ math1209:就先提出來，會使原始問題簡單許多 XD
→ math1209:這是一個好習慣，通常我在判斷極限問題
→ math1209:時，我都會先去觀察。我不會貿然地使用
→ math1209:羅必達法則 XD. (就本題而言)
→ math1209:等到題目看多了，就大概知道都是這些了
→ math1209:不過這都是考試走向，比較正確的是：先
→ math1209:觀察之 XD